2014创新设计高中数学(苏教版)第十五章 第4讲 参数方程

抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考第4讲参数方程抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考考点梳理1．曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变量t的函数x＝ft，y＝gt.并且对于t的每一个允许值上式所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则称上式为该曲线的_________，其中变量t称为_____．参数方程参数抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考2．一些常见曲线的参数方程(1)过点P0(x0，y0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为x＝_________y＝_________(t为参数)．设P是直线上的任一点，则t表示有向线段P0P→的数量．(2)圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为x＝_________y＝_________(θ为参数)．x0＋tcosαy0＋tsinαa＋rcosθb＋rsinθ抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考(3)椭圆方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)的参数方程为x＝______y＝______(θ为参数)．(4)抛物线方程y2＝2px(p0)的参数方程为x＝_____y＝2pt(t为参数)．bsinθacosθ2pt2抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考一个复习指导复习本讲时，应紧紧抓住直线的参数方程、圆的参数方程、圆锥曲线的参数方程的建立以及各参数方程中参数的几何意义，同时要熟练掌握参数方程与普通方程互化的一些方法．【助学·微博】抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考考点自测1．若直线x＝1－2t，y＝2＋3t(t为实数)与直线4x＋ky＝1垂直，求常数k的值．解参数方程x＝1－2t，y＝2＋3t，所表示的直线方程为3x＋2y＝7，由此直线与直线4x＋ky＝1垂直可得－32×－4k＝－1，解得k＝－6.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考2．已知圆C的参数方程为x＝cosα，y＝1＋sinα(α为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ＝1，求直线l与圆C的交点的直角坐标．解圆C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1，直线l的直角坐标方程为y＝1.x2＋y－12＝1，y＝1⇒x＝－1，y＝1或x＝1，y＝1.∴l与⊙C的交点的直角坐标为(－1,1)，(1,1)．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考3．(2013·广州调研)已知直线l的参数方程为：x＝2t，y＝1＋4t(t为参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝22sinθ，求直线l与圆C的位置关系．解将直线l的参数方程：x＝2t，y＝1＋4t化为普通方程得，y＝1＋2x，圆ρ＝22sinθ的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝2，圆心(0，2)到直线y＝1＋2x的距离为2－11＋4，因为该距离小于圆的半径，所以直线l与圆C相交．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考【例1】把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线．考向一参数方程与普通方程的互化(1)x＝1＋12t，y＝2＋32t(t为参数)；(2)x＝1＋t2，y＝2＋t(t为参数)．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考(3)x＝t＋1t，y＝1t－t(t为参数)；(4)x＝4sinθ，y＝5cosθ(θ为参数)．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考解(1)由x＝1＋12t得t＝2x－2.∴y＝2＋32(2x－2)．∴3x－y＋2－3＝0，此方程表示直线．(2)由y＝2＋t得t＝y－2，∴x＝1＋(y－2)2.即(y－2)2＝x－1，此方程表示抛物线．(3)由x＝t＋1t，y＝1t－t，①②∴①2－②2得x2－y2＝4，此方程表示双曲线．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考(4)x＝4sinθ，y＝5cosθ，得sinθ＝x4，cosθ＝y5，①②①2＋②2，得x216＋y225＝1，此方程表示椭圆．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考[方法总结]参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数；常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法；参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考【训练1】将下列参数方程化为普通方程．(1)x＝3k1＋k2，y＝6k21＋k2(k为参数)；(2)x＝1－sin2θ，y＝sinθ＋cosθ(θ为参数)；(3)x＝1－t21＋t2，y＝t1＋t2(t为参数)．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考解(1)两式相除，得k＝y2x，将其代入，得x＝3·y2x1＋y2x2，化简得所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0(y≠6)．(2)由(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝2－(1－sin2θ)，得y2＝2－x.又x＝1－sin2θ∈[0,2]，得所求的普通方程为y2＝2－x，x∈[0,2]．(3)由1－t21＋t22＋2t1＋t22＝1，得x2＋4y2＝1，又x＝1－t21＋t2≠－1，得所求的普通方程是x2＋4y2＝1(x≠－1)．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考考向二直线与圆的参数方程的应用【例2】已知圆C：x＝1＋cosθ，y＝sinθ(θ为参数)和直线l：x＝2＋tcosα，y＝3＋tsinα(其中t为参数，α为直线l的倾斜角)．(1)当α＝2π3时，求圆上的点到直线l距离的最小值；(2)当直线l与圆C有公共点时，求α的取值范围．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考解(1)当α＝2π3时，直线l的直角坐标方程为3x＋y－33＝0，圆C的圆心坐标为(1,0)，圆心到直线的距离d＝232＝3，圆的半径为1，故圆上的点到直线l距离的最小值为3－1.(2)圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2＋2(cosα＋3sinα)t＋3＝0，这个关于t的一元二次方程有解，故Δ＝4(cosα＋3sinα)2－12≥0，则sin2α＋π6≥34，即sinα＋π6≥32或sinα＋π6≤－32.又0≤απ，故只能sinα＋π6≥32，即π3≤α＋π6≤2π3，即π6≤α≤π2.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考[方法总结]过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)，t的几何意义是直线上的点P0(x0，y0)到点P的数量，使用该式时直线上任意两点P1、P2对应的参数分别为t1、t2，则P1P2＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为12(t1＋t2)．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考【训练2】过点P102，0作倾斜角为α的直线与曲线x2＋2y2＝1交于点M、N，求PM·PN的最小值及相应的α的值．解设直线的参数方程为x＝102＋tcosα，y＝tsinα(t是参数)，代入曲线方程并整理得(1＋sin2α)t2＋(10cosα)t＋32＝0，设M、N对应的参数分别为t1、t2，而由参数t的几何意义得PM＝|t1|，PN＝|t2|，则PM·PN＝|t1t2|＝321＋sin2α，所以，当sin2α＝1，即α＝π2时，PM·PN有最小值34，此时α＝π2.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考考向三参数方程的应用【例3】(2010·新课标全国卷)已知直线C1：x＝1＋tcosα，y＝tsinα(t为参数)，圆C2：x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考解(1)当α＝π3时，C1的普通方程为y＝3(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1.联立方程组y＝3x－1，x2＋y2＝1，解得C1与C2的交点坐标为(1,0)，12，－32.(2)C1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0.A点坐标为(sin2α，－cosαsinα)，故当α变化时，P点轨迹的参数方程为抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考x＝12sin2α，y＝－12sinαcosα(α为参数)，P点轨迹的普通方程为x－142＋y2＝116.故P点轨迹是圆心为14，0，半径为14的圆．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考[方法总结](1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰．(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；(2)求直线AM的参数方程．【训练3】(2010·辽宁卷)已知P为半圆C：x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧AP︵的长度均为π3.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考解(1)由已知，点M的极角为π3，且点M的极径等于π3，故点M的极坐标为π3，π3.(2)点M的直角坐标为π6，3π6，A(1,0)，故直线AM的参数方程为x＝1＋π6－1t，y＝3π6t(t为参数)．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考极坐标系和参数方程是本模块的重点内容，也是高考重点考查的内容．这部分内容一般单独命题，常与圆锥曲线综合考查．坐标系、参数方程是研究曲线的辅助工具，在高考试题中，涉及较多的是建立直角坐标系，用解析法解综合题．规范解答30极坐标方程、参数方程的综合问题抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考【示例】(2012·辽宁卷)在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考[审题路线图](1)将普通方程转化为极坐标方程求出交点坐标即可；(2)先求出公共弦的两个端点坐标，进一步即可写出参数方程．[解答示范](1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2，圆C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.由ρ＝2，ρ＝4cosθ，解得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C1与C2交点的坐标为2，π3，2，－π3.注：极坐标系下点的表示不唯一．(4分)抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考(2)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C1与C2的公共弦的参数方程为x＝1，y＝t(－3≤t≤3)．(或参数方程写成x＝1，y＝y(－3≤y≤3)(10分)抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考[点评]本题主要考查普通方程、参数方程、极坐标方程的转化，注意x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，代入转化．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考(t为参数，t0)．求曲线C的普通方程．高考经典题组训练1．(2009·江苏卷)已知曲线C的参数方程为x＝t－1t，y＝3t＋1t解∵x2＝t＋1t－2，∴x2＋2＝t＋1t＝y3，故曲线C的普通方程为3x2－y＋6＝0.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考2．(2011·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆x＝5cosφ