第3章+概率、概率分布与抽样分布(3)

第3章概率、概率分布与抽样分布3.1事件及其概率3.2随机变量及其概率分布3.3抽样分布3.1事件及其概率一、试验、事件和样本空间二、事件的概率三、概率的性质和运算法则四、条件概率与事件的独立性五、全概率公式与逆概率公式一、试验、事件和样本空间１试验２事件３样本空间随机现象在自然界和人类社会中存在着各种各样的现象，其中一类现象有这样的特点：在基本条件相同的情况下，却可能出现不同的结果，究竟出现哪一种结果，随“机遇”而定，带有偶然性。这类现象称为随机现象。随机现象有没有内在的规律性？如何研究它们？研究它们有什么用?1.随机试验从某一研究目的出发，对随机现象的观察称为随机试验，简称试验。例如：掷一枚骰子，观察其出现的点数概率论里所研究的试验有下列特点:(1)在相同的条件下试验可以重复进行;(2)每次试验的结果具有多种可能性,而且在试验之前可以明确试验的所有可能结果;(3)在每次试验之前不能准确地预言该次试验将出现哪一种结果例如：Ｅ１：抛一枚硬币，观察正面Ｈ、反面Ｔ出现的情况。Ｅ2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面Ｈ、反面Ｔ出现的情况。Ｅ3：记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数。Ｅ4：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。2.随机事件(randomevent)事件：试验的结果称为事件例如：抛掷硬币，结果正面朝上，则“正面朝上”是一个事件随机事件：每次试验中，可能发生也可能不发生，而在大量试验中具有某种规律性的事件，简称事件。通常用大写字母Ａ、Ｂ、Ｃ等表示例如：上例的事件Ａ＝“正面朝上”基本事件(elementaryevent)在随机事件中，有些可以看成是由某些事件复合而成的，而有些事件则不能。基本事件：不能分解成其它事件组合的最简单的随机事件。例如：掷一颗骰子的试验中，其出现的点数，“１点”、“２点”······“６点”都是基本事件，而“奇数点”不是，但是随机事件。必然事件、不可能事件必然事件(certainevent)：每次试验中一定发生的事件，用符号表示。例如：掷一颗骰子的试验中，“点数小于７”是个必然事件。不可能事件(impossibleevent)：每次试验中一定不发生的事件，用符号表示。例如：掷一颗骰子的试验中，“点数大于７”是个不可能事件。不可能事件必然事件随机事件的研究方法如何研究事件呢？集合论——事件3.样本空间给定一个试验,所有可能的结果的全体构成一个集合,这个集合称作样本空间,用大写的希腊字母表示。这个样本空间中的每一个元素也称作此样本空间的一个样本点,可以用小写的希腊字母表示。试验和样本空间的例1,掷一次硬币为一个试验,则有两个可能的试验结果,正面和反面,则={正面,反面}2,掷一次骰子为一个试验,则有六个可能的试验结果,1点,2点,3点,4点,5点和6点,因此样本空间为={1点,2点,3点,4点,5点,6点}事件的集合描述事件：就是样本空间的子集,或者说事件就是试验结果的集合,通常用大写英文字母A,B,C,…等表示.例如：掷两次硬币这个试验,事件A=“至少一次正面朝上”包括三个样本点(正,反),(反正),(正正).也可以表示为A={(正,反),(反,正),(正正)}掷两次骰子的试验,事件B=两次点数相同,则B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}事件的集合描述基本事件:只包括一个样本点,或者说一个试验结果的事件称为基本事件.必然事件:包括整个样本空间的所有元素的事件,或者就用表示,则每次试验必然发生.不可能事件:不包括任何元素的空集,即每次试验一定不会发生,称为不可能事件,用表示,则={}.事件的图示为了直观,经常使用图示来表示事件,一般地,用一个平面上某个方(或矩)形区表示必然事件或者整个样本空间,其中的一个子区域表示一具体的事件.A事件发生的内涵事件Ａ发生了是指事件Ａ中的某一样本点出现了，如：事件Ａ＝｛1点,3点,5点｝实验的结果为3点，则称事件Ａ发生了。事件间的关系及其运算事件的包含如果事件A发生必然导致事件B发生,即属于A的每一个样本点都属于B,则称事件B包含事件A或称事件A包含于事件B,记作BA或AB如：｛１点｝｛奇数点｝BA等价的说法是：如果B不发生则A也不会发生.对于任何事件A有A事件的相等如果事件A包含事件B,事件B也包含事件A,称事件A与B相等.即A与B中的样本点完全相同.记作A=B事件的并(和)两个事件A,B中至少有一个发生,即A或B,是一个事件,称为事件A与B的并(和).它是属于A或B的所有样本点构成的集合.记作：A+B或AB易知A+=A+=AAB可列个事件的和n个事件A1,A2,…,An中至少有一个发生是一个事件,称为事件的和,记作：A1+A2+…+An或A1A2…An可列个事件的和表示可列个事件中至少有一个事件发生,记作11iiiiAA或事件的交(积)两个事件A与B同时发生,即“A且B”,是一个事件,称为事件A与B的交.它是由既属于A又属于B的所有公共样本点构成的集合.记作：AB或ABAB易知A=AA=对立事件事件非A称为A的对立事件(或逆事件).它是由样本空间中所有不属于A的样本点组成的集合.记作AAAAAAA,,显然AA事件的差事件A发生而事件B不发生,是一个事件,称为事件A与B的差.它是由属于A但不属于B的那些样本点构成的集合.记作：ABAB易知AABABA互不相容事件如果事件A与B不能同时发生,即AB=,称事件A与B互不相容(或称互斥).互不相容事件A与B没有公共的样本点.显然,基本事件间是互不相容的AB对立事件一定互不相容,但互不相容事件未必对立完备事件组若事件A1,A2,…,An为两两互不相容事件,并且A1+A2+…+An=,称构成一个完备事件组或构成一个划分.A1A2A3A4最常用的完备事件组是某事件A与它的逆A根据事件互逆的定义，对任意两个事件Ａ、Ｂ，有下列结论成立：1111(1)(2)(3),nnnniiiiiiiiABABAAAAAAABABABAAAA（摩根律）A+B推广：符号概率论集合论必然事件全集不可能事件空集试验的可能结果中的元素A事件的子集A事件A的对立事件集合A的补集A发生一定会导致B发生集合B包含集合AA=B事件B与事件A相等集合B与集合A相等A∪B（或A+B）事件A与事件B中至少有一个发生集合B与集合A的并A∩B（或AB）事件A与事件B同时发生集合B与集合A的交A∩B=事件A与事件B不会同时发生集合B与A的交为空集BA二、事件的概率1.古典概率2.统计概率3.主观概率4.几何概率5.公理化定义随机事件的概率概率用来度量随机事件发生的可能性大小的数值必然事件的概率为1，表示为P()=1不可能事件发生的可能性是零，P()=0随机事件A的概率介于0和1之间，0P(A)11.概率的古典定义古典概型（等可能概型）具有以下特点每次试验的可能结果有限（即样本空间中基本事件总数有限）每个试验结果出现的可能性相同在任一试验中，只能出现一个结果，也就是有限个基本事件是两两互斥的。它是最早研究的对象概率的计算在古典概型的试验中,如果总共有n个可能的试验结果,因此每个基本事件发生的概率为1/n,如果事件A包含有m个基本事件,则事件A发生的概率则为m/n.nmAAP＝数样本空间中基本事件总中包含的基本事件数事件)(简单的例子掷一枚硬币的试验,基本事件为正面和反面,而且由于硬币的对称性,因此出现正面和反面的概率一样,都是1/2.掷一次骰子的试验,基本事件有6个,因此每个基本事件的概率为1/6,则P{奇数点}=3/6=1/2,P{小于3}=P{1,2}=2/6=1/32.概率的统计定义当试验次数n很大时，事件A发生频率m/n稳定地在某一常数p上下波动，而且这种波动的幅度一般会随着试验次数增加而缩小，则定义p为事件A发生的概率nmpAP)(当n相当大时，可用事件发生的频率m/n作为其概率的一个近似值——计算概率的统计方法（频率方法）例（补充）根据古典概率定义可算出，抛一枚质地均匀的硬币，出现正面与出现反面的概率都是0.5。历史上有很多人都曾经做过抛硬币试验。试验者试验次数正面出现的频率蒲丰40400.5069K.皮尔逊120000.5016K.皮尔逊240000.5005罗曼诺夫斯基806400.49793.主观概率(SubjectiveProbability)有些随机事件发生的可能性，既不能通过等可能事件个数来计算，也不能根据大量重复试验的频率来近似主观概率——依据人们的主观判断而估计的随机事件发生的可能性大小例如:某经理认为新产品畅销的可能性是80％人们的经验、专业知识、对事件发生的众多条件或影响因素的分析等等，都是确定主观概率的依据1.几何概型：若一个试验具有两个特征：（1）试验的结果为无限不可数，（2）每个结果出现的可能性是均匀的。则称这样的试验是几何概型。4.几何概型的定义2.几何概率：设几何概型的样本空间可表示成有度量的区域，记为，事件A所对应的区域记为A，则定义事件A的概率为：()()()mAPAmA的度量＝的度量A5.概率的公理化定义定义:设E是随机试验,S是它的样本空间,对于E的每一件事件A赋予一个实数,记为P(A),若P(A)满足下列三个条件:1.非负性:对每一个事件A,有;0)(AP2.完备性:;1)(SP3.可列可加性:对任意可数个两两互不相容的事件,,,,,21nAAA有)P(A)P(A)AA(A21n21P,)P(An则称P(A)为事件A的概率.三、概率的性质1.概率的基本性质非负性：对任意事件A，有0P(A)1。规范性：必然事件的概率为1，即：P()=1不可能事件的概率为0，即：P()=0。可加性：若A与B互斥，则：P(A∪B)=P(A)+P(B)对于多个两两互斥事件A1，A2，…，An，则有：P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)概率的性质性质1.0)(P性质2(有限可加性)设nAAA,,,21是两两不相容的事件，则有1212()()()().nnPAAAPAPAPA＝性质3).(1)(APAP性质4).()()(ABPAPBAP特别地，若,AB则(1));()()(BPAPBAP(2)).()(BPAP性质5对任一事件A，.1)(AP性质6).()()()(ABPBPAPBAP注：性质6可推广到任意有限个事件的并的情形.推广------三个事件和的情况)(321AAAP).()()()()()()(321313221321AAAPAAPAAPAAPAPAPAPn个事件和的情况)(21nAAAPnjijiniiAAPAP11)()().()1()(2111nnnkjikjiAAAPAAAP四、条件概率与事件的独立性１条件概率２乘法公式３独立事件１.条件概率条件概率—在某些附加条件下计算的概率定义：在已知事件B已经发生的条件下A发生的条件概率——P(A|B)相应地,把P(A)称为无条件概率.这里,只研究作为条件的事件B具有正概率即P(B)0的情况.条件概率的另一种解释：P(A|B)＝在事件B发生的所有可能结果中AB发生的概率即在样本空间Ω中考虑的条件概率P(A|B)，就变成在新的样本空间B中计算事件AB的概率问题了事件B已发生ABΩABBAB条件概率的一般公式：()(|),()0()PABPABPBPB2.乘法公式乘法公式：P(AB)＝P(A)·P(B|A)或P(AB)＝P(B)·P(A|B)即：两个事件同时发生的概率等于其中一个事件发生的概率乘以另一个事件的条件概率