《平行四边形》提优复习

《平行四边形》提优复习【知识图解】【技法透析】1．平行四边形性质的应用平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行线或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍分关系．平行四边形的性质为证明线段相等、角相等、线段平行及垂直提供了理论依据．2．平行四边形的判定方法(1)按边：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等．(2)按角：两组对角分别相等．(3)按对角线：对角线互相平分，在选择以上方法时，应根据题目条件合理选择，若条件中有对边相等或对边平行可从边入手；若涉及到对角线可从对角线入手；若涉及到角可考虑从对角相等入手，三类方法中选择边进行判定的较多．3．三角形中位线(1)三角形有三条中位线，每一条中位线与第三边都有相应的位置关系与数量关系；(2)三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形，因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14．考点1平行四边形的判定例1已知四边形ABCD中，有以下四个条件：①AB∥CD，②AB＝CD，③BC∥AD，④BC＝AD，从这四个条件中任选两个，能使ABCD成为平行四边形的选法种数共有()A．6种B．5种C．4种D．3种【切题技巧】根据平行四边形的判定方法可知：①和②；③和④；①和③；②和④共4种方法可使四边形ABCD成为平行四边形．【规范解答】C【借题发挥】平行四边形的判定可归纳：判定一个四边形是平行四边形，往往有多种思路，应仔细观察题目所给出的条件，灵活选择适合于题目的最佳判定方法进行解答．【同类拓展】1．如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可）关系：①AD∥BC，②AB＝CD，③∠A＝∠C，④∠C＋∠B＝180°．已知：在四边形ABCD中，_______，_______．求证：四边形ABCD是平行四边形．考点2平行四边形性质与判定综合运用例2如图所示，P是边长为l0cm的等边△ABC内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，D、E、F分别在AC、AB和BC上，试求PD＋PE＋PF的值．【切题技巧】猜想或动手度量一下，这个能否与AB相等，由题设知ADPG和PHBE均为平行四边形，易证△GPE与△PHF均为等边三角形，所以PD＝AG，PE＝EG，PF＝PH＝BE，所以PD＋PE＋PF＝AG＋EG＋BE＝AB＝10(cm)．【规范解答】延长FP交AB于G，延长DP交BC于H，则四边形AGPD和EBHP为平行四边形，所以PD＝AG，PH＝BE．∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，又因为DH∥AB，GF∥AC，∴∠2＝∠B，∠1＝∠C，∴∠2＝∠1＝60°．∴△PHF为等边三角形，同理△PGE为等边三角形，∴PE＝EG，PF＝PH＝BE．∴故PD＋PE＋PF＝AG＋GE＋BE＝AB＝10cm．【借题发挥】(1)本题考查了平行四边形、等边三角形的性质和判定．(2)若题设条件中有彼此平行的线段，或构成平行四边形的因素，则通过作平行线构造平行四边形，然后利用平行四边形由对边相等来进行线段转换．这是解四边形问题的常用技巧．【同类拓展】2．如图，在等腰△ABC中，延长AB到点D，延长CA到点E，连结DE，恰有AD＝BC＝CE＝DE，求∠BAC的度数．考点3巧构造平行四边形，解决问题例3如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E、交AD于F，且AE＝EF，求证：AC＝BF．因为AC与BF处于不同的位置，既不是同一三角形的边，又不互相平行，要证明它们相等只能通过其他的辅助方法，如让AC不动，而将BF平移，使平移后的BF与AC是同一个三角形的两边，使新三角形以A、C为顶点，因而可将BF向下平移，让点F与点C重合考虑到对角线互相平行的四边形是平行四边形，所以可以作辅助线，延长FD至G，使FD＝DG，连结CG即可得证．【规范解答】如图，过C作CGBF，连结CF、BG，则四边形BGCF为平行四边形，所以对角线BC与FG互相平分，又AD为△ABC的中线，所以A、F、D、G四点共线．∵CG∥BF，∴∠CGF＝∠BFG，又∠BFG＝∠AFE且∠AFE＝∠GAE∴AE＝FE∴∠AGC＝∠GAC∴CG＝AC，∴BF＝AC．【借题发挥】本题添加辅助线CGBF的想法是由于AD为△ABC的中线，且AF＝EF，所以可利用平行四边形的对角线互相平分的性质构造了平行四边形BFCG，从而成功地将“BF”转化为CG，要证AC＝BF，则只要证AC＝CG就可以了．【同类拓展】3．如图，直角△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F，求证：AE＝CF．考点4巧构三角形中位线解决问题例4如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，∠B≠∠C，N、M分别是AD、BC的中点，BA、CD的延长线分别交直线MN于点E、F．求证：∠BEM＝∠CFM．【切题技巧】取BD的中点，分别在△ABD和△BCD中，运用三角形中位线定理．【规范解答】连接BD，取BD中点G，连接GM、GN．∵N是AD的中点，∴GN∥AB，GN＝12DC，∴GM＝GN，∴∠GMN＝∠GNM又∠GNM＝∠BEM，∠GMN＝∠CFM∴∠BEM＝∠CFM．【借题发挥】取中点，构造三角形中位线是解决有中点问题的常用方法．4．如图，E、F分别是四边形ABCD的对角线AC、BD的中点．求证EF12(AB＋CD)考点5平行四边形与其它知识综合运用例5如图所示，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋l与y＝－34x＋3交于点A，分别交x轴于点B和点C，D是直线AC上的一个动点．(1)求点A，B，C的坐标；(2)当△CBD为等腰三角形时，求点D的坐标；(3)在直线AB上是否存在点E，使得以E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出BECD的值；如果不存在，请说明理由．【切题技巧】【规范解答】(2)当△CBD为等腰三角形时，有以下几种情况，如图(1)所示．设动点D的坐标为(x、y)．【借题发挥】这类题是几何与函数综合运用，本题综合考查了一次函数、等腰三角形、勾股定理、平行四边形等相关知识，要注意数形结合与分类讨论思想的运用．【同类拓展】5．如图，在直角坐标系中，A(l，0)，B(3，0)，P是y轴上一动点，在直线y＝12x上是否存在点Q，使A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出对应的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．略2．100°3.略4.略5.(2,1),(-2,-1),(4,2)