全等三角形及判定

第十二章全等三角形人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）下列各组图形的形状与大小有什么特点？思考:他们能完全重合吗?每组的两个图形有什么特点?完全重合•形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。•能够完全重合的两个图形叫做全等形•能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形下列两三角形是怎样由一个三角形得到另一个三角形？它们有什么特点？BACNPMACBDE下列两三角形是怎样由一个三角形得到另一个三角形？它们有什么特点？ABCDCBADE下列两三角形是怎样由一个三角形得到另一个三角形？它们有什么特点？BDC一个三角形经过平移、旋转、翻折后所得到的三角形与原三角形全等。ABCEDF“全等”用符号“≌”表示图中的△ABC和△DEF全等，记作:△ABC≌△DEF读作:△ABC全等于△DEF你能否直接从记作∆ABC≌∆DEF中判断出所有的对应顶点、对应边和对应角？SOTDCNMOAB两个全等三角形的位置变化了，对应边、对应角的大小有没有变化？由此你能得到什么结论？寻找各图中两个全等三角形的对应元素。EADCBF全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.如图：∵△ABC≌△DFE∴AB=DF,BC=FE,AC=DE∵△ABC≌△DFE∴∠A=∠D,∠B=∠F,∠C=∠EDEFABCABCDEF∵△ACB≌△DEF∴AB=DF,CB=EF,AC=DE.∴∠A=∠D,∠CBA=∠F,∠C=∠DEF.先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角ABCD∵△ABC≌△ABD∴AB=AB,BC=BD,AC=AD.∴∠BAC=∠BAD,∠ABC=∠ABD∠C=∠D.规律一：有公共边的，公共边是对应边先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角ACDB∵△AOC≌△BOD∴AO=BO,AC=BD,OC=OD.∴∠A=∠B,∠C=∠D,∠AOC=∠BOD.规律二：有对顶角的，对顶角是对应角o先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角ABCDE∵△ABC≌△ADE∴AB=AD,AC=AE,BC=DE∴∠A=∠A,∠B=∠D,∠ACB=∠AED.规律三：有公共角的，公共角是对应角先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角∵△ABC≌△FDE∴AB=FD,AC=FE,BC=DE∴∠A=∠F,∠B=∠D,∠ACB=∠FED.规律五：一对最大的角是对应角一对最小的角是对应角ABCFDE规律四：一对最长的边是对应边一对最短的边是对应边3.有公共角的，公共角一定是对应角。4.对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角．5.在两个全等三角形中最长边对最长边，最短边对最短边，最大角对最大角，最小角对最小角。1.有公共边的，公共边一定是对应边。2.有对顶角的，对顶角一定是对应角。找出下列全等三角形的对应边、对应角ABCD△ABD≌△CBD找出下列全等三角形的对应边、对应角ABCDO△AOD≌△COD找出下列全等三角形的对应边、对应角ABDCE△ABC≌△ADE找出下列全等三角形的对应边、对应角△ADE≌△CBFBFCDAE找出下列全等三角形的对应边、对应角ABMNC△ABN≌△ACM△ABM≌△ACN找出下列全等三角形的对应边、对应角ABCD△AOB≌△DOC△ABC≌△DCBO如图,△ABD≌△EBCDABCE2、如果AB=3cm,BC=5cm,求BE、BD的长.∴BE=3cm,BD=5cm解：∵△ABD≌△EBC∴AB=EB，BC=BD∵AB=3cm,BC=5cm1、请找出对应边和对应角。AB与EB、BCBD、ADEC，∠A∠BEC、∠D∠C、∠ABD∠EBC如图,△EFG≌△NMH2、如果EF=2.1cm,EH=1.1cm,HN=3.3cm,求NM、HG的长.∴HG=EG-HG=3.3-1.1=2.2解：∵△EFG≌△NMH∴NM=EF=2.1,EG=HN=3.31、请找出对应边和对应角。NMFGEH△ABD≌△ACE，若∠ADB=100°，∠B=30°，说出△ACE中各角的大小？解：∵△ABD≌△ACE，∴∠AEC=∠ADB=1000，∠C=∠B=300，又∵∠A+∠AEC+∠C=180°∴∠A=1800-∠AEC-∠C=1800-1000-300=500如图,已知△AOC≌△BOD求证：AC∥BD互相重合的角叫做＿＿＿互相重合的边叫做＿＿＿＿其中：互相重合的顶点叫做＿＿＿2.叫全等三角形。1.能够重合的两个图形叫做。全等形4.全等三角形的和相等对应边对应角对应顶点课堂小结能够完全重合的两个三角形3.“全等”用符号“”来表示，读作“”对应边对应角5.书写全等式时要求把对应字母放在对应的位置上全等于≌ABC1.什么叫全等三角形？能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。2.全等三角形有什么性质？全等三角形的对应边相等，对应角相等３.已知，试找出其中相等的边与角C'B'A'ABC≌''''''ACCA3CBBC2BAAB1＝）（＝）（＝）（'''CC6BB5AA4＝）（＝）（＝）（，所以因为C'B'A'ABC≌'A'B'CABC即：三条边对应相等，三个角对应相等的两个三角形全等。六个条件，可得到什么结论？'A'B'CC'B'A'ABC答：≌''''''ACCA3CBBC2BAAB1＝）（＝）（＝）（C'B'A'ABC中，有和在，，，＝）（＝）（＝）（CC6BB5AA4与满足上述六个条件中的一部分是否能保证与全等呢？CBAABCCBAABCABCABC一个条件可以吗？两个条件可以吗？一个条件可以吗？1.有一条边相等的两个三角形不一定全等探究活动2.有一个角相等的两个三角形不一定全等结论：有一个条件相等不能保证两个三角形全等.6cm300有两个条件对应相等不能保证三角形全等.60o300不一定全等1.有两个角对应相等的两个三角形两个条件可以吗？3.有一个角和一条边对应相等的两个三角形2.有两条边对应相等的两个三角形不一定全等30060o4cm不一定全等30o6cm结论：探究活动三个条件呢？探究活动1.三个角；2.三条边；3.两边一角；4.两角一边。如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况？结论:三个内角对应相等的三角形不一定全等。探究活动1.有三个角对应相等的两个三角形60o30030060o三个条件呢？若已知一个三角形的三条边，你能画出这个三角形吗？画一个三角形，使它的三边长分别为4cm,5cm,7cm.三边对应相等的两个三角形会全等吗？画法：1.画线段AB=4cm；2.分别以A、B为圆心，5cm、7cm长为半径作圆弧，交于点C；3.连结AB、AC；∴△ABC就是所求的三角形.探究活动上，它们全等吗？剪下，放到把画好的＝，＝，＝使，，再画一个先任意画出一个ABCCBA.CAACBCCBABBACBAABC''''''''''''三边相等的两个三角形会全等吗？画法：探究活动；＝画线段BCCB1.''你能得出什么结论？'''ΔABC.则为所求作的三角形；两弧交于点为半径画弧，、线段为圆心，、分别以'''AACABCB2..CABA3.''''、连接线段三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。用上面的结论可以判定两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．'''ABCABC三边对应相等的两个三角形全等.(简写成“边边边”或“SSS”)如何用符号语言来表达呢?中和在C'B'A'ABC''''''ACCACBBCBAAB(SSS)C'B'A'ABC≌结论∴∠A=∠___∠B=∠___∠C=∠___'A'B'C∴△ABC△ADC（SSS）例1已知：如图，AB=AD，BC=CD，求证：△ABC≌△ADCABCDACAC()≌AB=AD()BC=CD()证明：在△ABC和△ADC中=已知已知公共边判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。分析：要证明△ABC≌△ADC，首先看这两个三角形的三条边是否对应相等。结论：从这题的证明中可以看出，证明是由已知出发，经过一步步的推理，最后推出结论正确的过程。①准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好；②三角形全等书写三步骤：写出在哪两个三角形中摆出三个条件用大括号括起来写出全等结论证明的书写步骤：例2如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架.求证：△ABD≌△ACD.ABCDABCD.CDBDBCD＝的中点，是证明：QACDABD中，和在ADADCDBDACAB（公共边）＝（已证）＝(已知)＝≌.SSSACDABD）（(1)(2)∠BAD=∠CAD.（2）由（1）得△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD.（全等三角形对应角相等）工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下：如图，AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合.过角尺顶点C的射线OC便是AOB的平分线.为什么？课本P8中，和解：在CNOCMOOMABNCCOCOCNCMONOM，＝，＝，＝.AOBOC的平分线是.SSSCNOCMO）（≌.CONCOM＝（全等三角形对应角相等）（已知）（已知）（公共边）例3、已知∠BAC（如图），用直尺和圆规作∠BAC的平分线AD，并说出该作法正确的理由。ACB小明做了一个如图所示的风筝，他想去验证∠BAC与∠DAC是否相等，但手头却只有一把足够长的尺子。你能帮助他想个方法吗？说明你这样做的理由。ABDC思考如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE，求证：△AEB≌△ADC。证明：∵BD=CE∴BD-ED=CE-ED，即BE=CDCABDE在AEB和ADC中，AB=AC（已知）AE=AD（已知）BE=CD（已证）∴△AEB≌△ADC(sss)CBDAFEDB思考已知AC=FE，BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB.要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？解：要证明△ABC≌△FDE，还应该有AB=DF这个条件∵AD=FB∴AD+DB=FB+DB即AB=FD思考.FDABDBFBDBADFBAD即，，证明：QFDBABC中，和在FBACDBBCFDAB（已知），＝（已知），＝（已证），＝≌.SSSFDBABC）（CBDAFEDB已知AC=FE，BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB.要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？练习1：如图，AB＝AC，BD＝CD，BH＝CH，图中有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？HDCBA解：有三组。在△ABH和△ACH中,∵AB=AC，BH=CH，AH=AH,∴△ABH≌△ACH（SSS）；在△ABD和△ACD中,∵AB=AC，BD=CD，AD=AD,∴△ABD≌△ACD（SSS）；在△DBH和△DCH中∵BD=CD，BH=CH，DH=DH,∴△DBH≌△DCH（SSS）.（2）如图，D、F是线段BC上的两点，AB=CE，AF=DE，要使△ABF≌△ECD，还需要条件.BCBC△DCBBF=DC或BD=FCABCD练习2解：△ABC≌△DCB理由如下：AB=DCAC=DB=△ABC≌()SSS（1）如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？试说明理由。AEBDFC练习3、如图，在四边形ABCD中,AB=CD,AD=CB,求证：∠A=∠C.DABC•证明：在△ABD和△CDB中AB=CDAD=CBBD=DB∴△ABD≌△CDB（SSS）（已知）（已知）（公共边）∴∠A=∠C（全等三角形的对应角相等）你能说明AB∥CD，AD∥BC吗？解：①∵E、F分别是AB，CD的中点（）又∵AB=CD∴AE=CF在△ADE与△CBF中DE==∴△ADE≌△C