菱形的判定定理

§菱形的判定定理平行四边形•学习目标：1．掌握菱形的三种判定方法，能根据不同的已知条件，选择适当的判定定理进行推理和计算；2．经历菱形判定定理的探究过程，渗透类比思想，体会研究图形判定的一般思路．•学习重难点：1、重点：菱形判定条件的探索及证明．2、难点：菱形的判定定理的应用．回顾反思类比猜想我们学习了矩形的定义、性质和判定，如下表．你能发现矩形的三条判定定理分别是从哪个角度得到的吗？矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形矩形的性质具有平行四边形的所有性质对角线相等四个角都是直角有一个角是直角的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形CDABO矩形的判定回顾反思类比猜想菱形的定义与性质如下表．你认为可以从哪些角度思考菱形的判定条件？菱形的定义一组邻边相等的平行四边形叫做菱形菱形的性质具有平行四边形的所有性质对角线互相垂直且平分每一组对角菱形的四条边都相等菱形的判定CDABO？你的想法正确吗？如何证明你的猜想？小明同学提出：用一长一短的两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉；做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋（如下图），做成一个四边形，转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．情境1：求证：已知：证明：命题1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．OB=OD,∠AOD=∠AOBABCD是菱形AD=AB△ABO≌△ADO定义请你把这个命题的已知，求证以及证明过程写下来。ABCD,对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD求证：ABCD是菱形BCADOABCDAC⊥BD已知：ABCD,对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD求证：平行四边形ABCD是菱形∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD（已知）∴OB=OD,∠AOD=∠AOB又∵AO=AO（公共边）∴△ABO≌△ADO（SAS）证明：∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）∴四边形ABCD是是菱形（一组邻边相等的平行四边形叫做菱形）BCADO菱形判定•菱形的判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．符号语言:∵ABCD，AC⊥BD（已知）∴ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）BCADO判断题，对的画“√”错的画“×”(1).对角线互相垂直的四边形是菱形（）(2).一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形（）(3).对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（）(4).对角线相等的四边形是菱形（）(5).有一组邻边相等的四边形是菱形（）××√××李亚同学先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？猜想：四条边相等的四边形是菱形情境2：求证：已知：证明：命题2:四条边相等的四边形是菱形四边形ABCD,AB=BC=CD=DA四边形ABCD是菱形AB=BC=CD=DA四边形ABCD是菱形AB=CD，BC=DA定义请你把这个命题的已知，求证以及证明过程写下来。ABCD，AB=ADABCD已知：四边形ABCD,AB=BC=CD=DA求证：四边形ABCD是菱形∵AB=BC=CD=DA，∴AB=CD，BC=DA，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=AD，∴四边形ABCD是是菱形．证明：判断题，对的画“√”错的画“×”(1).对角线互相垂直且邻边相等的四边形是菱形（）(2).邻边相等的四边形是菱形（）(3).邻角相等的四边形是菱形（）(4).对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形（）(5).两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形（）×××√√菱形判定•菱形的判定定理2：四条边相等的四边形是菱形。∵AB=BC=CD=DA（已知）∴四边形ABCD是菱形（四条边相等的四边形是菱形。）符号语言:判定一个四边形是菱形应具备几个条件？既可以从菱形定义证明，也可以从判定定理证明。判定一个四边形是菱形，应具备两个条件。一组邻边相等的平行四边行②四条边相等的四边形①对角线互相垂直的平行四边形(1)定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。(2)判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。(3)判定定理2：四条边相等的四边形是菱形。应用拓展例4：□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AO＝4，BO＝3。求证：□ABCD是菱形。方法3：四条边相等的四边形是菱形。（判定定理2）方法1：一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）方法2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形(判定定理1）交流：你用的是哪一种方法？你认为哪一种方法最好？独立思考：你用哪一种方法？例4：□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AO＝4，BO＝3。求证：□ABCD是菱形。证明：∵AB=5，AO＝4，BO＝3∴∴△AOB是直角三角形∴AC⊥BD∴□ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形）222ABAOBO1、填空。(1)如图，若AD=8cm,那么当AB=______cm，BC=_____cm,CD=___cm时，四边形ABCD是菱形.(2)如图，若AO=8cm,OD=6cm，则当AD=____cm,则□ABCD是菱形.881082、下列哪些平行四边形是菱形?为什么?答案（1）答案（2）是，因为AC⊥BD是，因为AB=AD判定1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（2）（1）5cm13cm12cm5cm5cm3.在菱形ABCD中，不一定成立的（）A、四边形ABCD是平行四边形B、AC⊥BDC、△ABD是等边三角形D、∠CAB＝∠CAD4.菱形的对角线长分别是16cm、12cm，周长是.5.如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（）①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD.A．①③B．②③C．③④D．①②③C40cmA课后思考：1.如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是.2.已知：如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形。EF=EHABCDEFGH如图，等边△ABC的边长为2，E是边BC上的动点，EF∥AC交边AB于点F，在边AC上取一点P，使PE=EB，连接FP．（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段；（不再另外添加辅助线）（2）探究：当点E在什么位置时，四边形EFPC是平行四边形？并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形，请说明理由；（1）易得△BFE是等边三角形，PE=EB，∴EF=BE=PE=BF；（2）当点E是BC的中点时，四边形是菱形；∵E是BC的中点，∴EC=BE，∵PE=BE，∴PE=EC，∵∠C=60°，∴△PEC是等边三角形，∴PC=EC=PE，∵EF=BE，∴EF=PC，又∵EF∥CP，∴四边形EFPC是平行四边形，∵EC=PC=EF，∴平行四边形EFPC是菱形；课后反思菱形的判定方法除了以上三种之外还有哪些判定方法？如：1、对角线相互垂直且平分的四边形是菱形2、每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形3、对角线垂直的矩形叫菱形4、………………