2016版《步步高》高考数学大二轮总复习专题六 解析几何第1讲

第1讲直线与圆专题六解析几何高考真题体验热点分类突破高考押题精练栏目索引高考真题体验12341.(2015·安徽改编)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是________.解析∵圆方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴该圆是以(1,1)为圆心，以1为半径的圆，∵直线3x＋4y＝b与该圆相切，∴|3×1＋4×1－b|32＋42＝1，解得b＝2或b＝12.2或1212342.(2015·湖南)若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________.解析如图，过O点作OD⊥AB于D点，在Rt△DOB中，∠DOB＝60°，∴∠DBO＝30°，又OD＝|3×0－4×0＋5|5＝1，∴r＝2OD＝2.212343.(2014·重庆)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.解析圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离为|a＋a－2|a2＋1.因为△ABC为等边三角形，所以AB＝BC＝2，所以(|a＋a－2|a2＋1)2＋12＝22，解得a＝4±15.4±1512344.(2014·课标全国Ⅱ)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________.解析如图，过点M作⊙O的切线，切点为N，连结ON.M点的纵坐标为1，MN与⊙O相切于点N.设∠OMN＝θ，则θ≥45°，1234即sinθ≥22，即ONOM≥22.而ON＝1，∴OM≤2.∵M(x0,1)，∴x20＋1≤2，∴x20≤1，∴－1≤x0≤1，∴x0的取值范围为[－1,1].答案[－1,1]考情考向分析考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题.直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以填空题的形式出现.热点一直线的方程及应用热点分类突破1.两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在.2.求直线方程要注意几种直线方程的局限性.点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直.而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.3.两个距离公式(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.例1(1)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是________.解析当k＝4时，直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率存在，则两直线不平行；当k≠4时，两直线平行的一个必要条件是3－k4－k＝k－3，解得k＝3或k＝5.但必须满足1k－4≠32(截距不相等)才是充要条件，经检验知满足这个条件.3或5(2)已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为________.解析依题意，得|3m＋5|m2＋1＝|－m＋7|m2＋1.所以|3m＋5|＝|m－7|.所以(3m＋5)2＝(m－7)2，所以8m2＋44m－24＝0.所以2m2＋11m－6＝0.所以m＝12或m＝－6.12或－6思维升华(1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究.跟踪演练1已知A(3,1)，B(－1,2)两点，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在的直线方程为____________.解析由题意可知，直线AC和直线BC关于直线y＝x＋1对称.设点B(－1,2)关于直线y＝x＋1的对称点为B′(x0，y0)，则有y0－2x0＋1＝－1，y0＋22＝x0－12＋1⇒x0＝1，y0＝0，即B′(1,0).因为B′(1,0)在直线AC上，所以直线AC的斜率为k＝1－03－1＝12，所以直线AC的方程为y－1＝12(x－3)，即x－2y－1＝0.答案x－2y－1＝0热点二圆的方程及应用1.圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.2.圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F0，表示以(－D2，－E2)为圆心，D2＋E2－4F2为半径的圆.例2(1)若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为___________________.解析因为圆C经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x＝2上，又圆与y轴相切，所以半径r＝2，设圆心坐标为(2，b)，则(2－1)2＋b2＝4，b2＝3，b＝±3.所以圆C的方程为(x－2)2＋(y±3)2＝4.(x－2)2＋(y±3)2＝4(2)已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1：x＝－2的右侧，若圆M截直线l1所得的弦长为23，且与直线l2：2x－5y－4＝0相切，则圆M的方程为________________.解析由已知，可设圆M的圆心坐标为(a,0)，a－2，半径为r，得(a＋2)2＋(3)2＝r2，|2a－4|4＋5＝r，解得满足条件的一组解为a＝－1，r＝2，所以圆M的方程为(x＋1)2＋y2＝4.答案(x＋1)2＋y2＝4思维升华解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.跟踪演练2(1)经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程为________________.解析由题意知KAB＝2，AB的中点为(4,0)，设圆心为C(a，b)，∵圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上.则ba－4＝－12，2a－b－3＝0，解得a＝2，b＝1∴C(2,1)，∴r＝CA＝(5－2)2＋(2－1)2＝10.∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.答案(x－2)2＋(y－1)2＝10(2)已知直线l的方程是x＋y－6＝0，A，B是直线l上的两点，且△OAB是正三角形(O为坐标原点)，则△OAB外接圆的方程是____________________.解析设△OAB的外心为C，连结OC，则易知OC⊥AB，延长OC交AB于点D，则OD＝32，且△AOB外接圆的半径R＝OC＝23OD＝22.又直线OC的方程是y＝x，容易求得圆心C的坐标为(2,2)，故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－2)2＝8.(x－2)2＋(y－2)2＝8热点三直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法.(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则dr⇔直线与圆相交，d＝r⇔直线与圆相切，dr⇔直线与圆相离.(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，方程组Ax＋By＋C＝0，(x－a)2＋(y－b)2＝r2消去y，得关于x的一元二次方程根的判别式Δ，则直线与圆相离⇔Δ0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ0.2.圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离.设圆C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21，圆C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22，两圆心之间的距离为d，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：(1)dr1＋r2⇔两圆外离；(2)d＝r1＋r2⇔两圆外切；(3)|r1－r2|dr1＋r2⇔两圆相交；(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内切；(5)0≤d|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内含.例3(1)已知直线2x＋(y－3)m－4＝0(m∈R)恒过定点P，若点P平分圆x2＋y2－2x－4y－4＝0的弦MN，则弦MN所在直线的方程是_______________________________.解析对于直线方程2x＋(y－3)m－4＝0(m∈R)，取y＝3，则必有x＝2，所以该直线恒过定点P(2,3).设圆心是C，则易知C(1,2)，所以kCP＝3－22－1＝1，由垂径定理知CP⊥MN，所以kMN＝－1.又弦MN过点P(2,3)，故弦MN所在直线的方程为y－3＝－(x－2)，即x＋y－5＝0.答案x＋y－5＝0(2)已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为_______________.解析如图，把圆的方程化成标准形式得x2＋(y－1)2＝1，所以圆心为(0,1)，半径为r＝1，四边形PACB的面积S＝2S△PBC，所以若四边形PACB的最小面积是2，则S△PBC的最小值为1.而S△PBC＝12r·PB，即PB的最小值为2，此时PC最小，PC为圆心到直线kx＋y＋4＝0的距离d，此时d＝|5|k2＋1＝12＋22＝5，即k2＝4，因为k0，所以k＝2.答案2思维升华(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量.(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题.跟踪演练3(1)已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2＝－2y＋3，直线l过点(1,0)且与直线x－y＋1＝0垂直.若直线l与圆C交于A、B两点，则△OAB的面积为________.解析因为圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆心为C(0，－1)，半径r＝2，直线l的斜率为－1，其方程为x＋y－1＝0.圆心C到直线l的距离d＝|0－1－1|2＝2，弦长AB＝2r2－d2＝24－2＝22，又坐标原点O到线段AB的距离为12，所以S△OAB＝12×22×12＝1.答案1(2)两个圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三条公切线，则a＋b的最小值为________.解析两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程分别为圆C1：(x＋a)2＋y2＝4，圆C2：x2＋(y－b)2＝1，所以C1C2＝a2＋b2＝2＋1＝3，即a2＋b2＝9.由(a＋b2)2≤a2＋b22，得(a＋b)2≤18，所以－32≤a＋b≤32，当且仅当“a＝b”时取“＝”.答案32高考押题精练1231.已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C的方程为_____________________.押题依据直线和圆的方程是高考的必考点，经常以填空题的形式出现，利用几何法求圆的方程也是数形结合思想的应用.123解析由已知得圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为23π.设圆心坐标为(0，a)，半径为r，则rsinπ3＝1，rcosπ3＝|a|，解得r＝23，即r2＝43，|a|＝33，即a＝±33，故圆C的方程为x2＋(y±33)2＝43.答案x2＋(y±33)2＝431232.已知点A(－2,0)，B(0,2)，若点C是圆x2－2ax＋y2＋a2－1＝0上的动点，△ABC面积的最小值为3－2，则a的值为________.押题依据和圆有关的最值问题体现了转化与化归的数学思想，符合高考在交汇点命题的思路.123解析圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝1，圆心M(a,0)到直线AB：x－y＋2＝0的距离