线性代数 二次型 课件

第一节方阵的特征值与特征向量二次型的概念一、特征值与特征向量的性质三、特征值与特征向量的求法二、特征值与特征向量四、小结、思考题特征值问题与二次型第六章二次型及其标准形的概念一、二次型及其标准形二、二次型的表示方法三、二次型的矩阵及秩的正交变换法四、化二次型为标准形五、小结、思考题一、二次型及其标准形的概念nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222,,,称为二次型.的二次齐次函数个变量含有定义nxxxn,,,121;,称为是复数时当faij复二次型.,称为是实数时当faij实二次型本书只考虑实二次型说明只含有平方项的二次型2222211nnykykykf称为二次型的标准形．例如312322213214542,,xxxxxxxxf都为二次型；而23222132144,,xxxxxxf为二次型的标准形.323121321,,xxxxxxxxxf,aaijji取nnxxaxxaxaf1121122111.1,xxajinjiijnnxxaxaxxa222222122122211nnnnnnnxaxxaxxa2．用矩阵表示nnxxaxxaxaf1121122111nnxxaxaxxa222222122122211nnnnnnnxaxxaxxa二、二次型的表示方法nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx2121222211121121,,,.,为实对称矩阵其中则二次型可记作AAxxfT三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．;的矩阵叫做二次型实对称矩阵fA;的二次型叫做实对称矩阵Af.的秩的秩叫做二次型实对称矩阵fA解,a,a,a321332211,aa22112,aa03113.aa33223.330322021A.64323221232221的矩阵写出二次型xxxxxxxf例１2例试写出二次型3122214321423),,,(xxxxxxxxf.A的矩阵解阵应为依题意，该二次型的矩0000000200200203A3例试写出二次型321321020511132,,xxxxxxf.A的矩阵解实对称矩阵，故由于二次型的矩阵必是而有022520122512312012312A0272127112112nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111,,设有可逆线性变换四、化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形．),(cijC若记矩阵记作则上述可逆线性变换可CyxAxxfT有将其代入,AxxfT.yACCyTTCyACyT.,,,,0ArBrBAACCBCT且也为对称矩阵则矩阵为对称如果令任给可逆矩阵定理2221212TTnnACyyyyyCkkk2定义,,PnBAn阶满秩阵若存在和阶方针对使成立APPBTBA与则称.合同形的问题就转变成如何于是，化二次型为标准.对角矩阵的问题使实对称矩阵合同于实即有用于二次型因此把这个结论应即使总有正交矩阵阵由于对任意的实对称矩,.,,,1APAPPAPPT化为标准形使正交变换总有任给二次型fPyxaaxxafjiijnjijiij,,1,,2222211nnyyyf.,,,21的特征值的矩阵是其中ijnaAf1定理.1的特征值系数一定是准形经过正交变换化成的标、AAxxfT说明时，必有在持向量的长度不变，即而言，正交变换将保、对正交变换QyxQyx222yx事实上，)()(,,2QyQyQyQyxxxT2,yyyyyQyQyTTT用正交变换化二次型为标准形的具体步骤;,.1AAxxfT求出将二次型表成矩阵形式;,,,.221nA的所有特征值求出;,,,.321n征向量求出对应于特征值的特;,,,,,,,,,,,,.4212121nnnC记得单位化正交化将特征向量.,.52211nnyyffCyx的标准形则得作正交变换1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值144241422217A144241422217IA9182什么曲面？表示化成标准形，并问通过正交变换将二次型2,844141417323121232221fPyxxxxxxxxxxf例4解从而得特征值.18,9321得基础解系代入将,091xIA2．求特征向量得基础解系代入将,01832xIA,)0,1,2(2T.)1,0,2(3T3．将特征向量正交化,11取)1,1,21(1T,22,,,2223233得正交向量组.)1,54,52(3T,)0,1,2(2T,)1,1,21(1T,3,2,1,iiii令得,051522,3232311.4554544523.45503245451324525231P所以4．将正交向量组单位化，得正交矩阵P于是所求正交变换为,45503245451324525231321321yyyxxx.18189232221yyyf且有即,Pyx表示椭球面。此时，容易看出2f解.222222,434232413121化为标准形把二次型求一个正交变换xxxxxxxxxxxxfPyx例5二次型的矩阵为,0111101111011110A它的特征多项式为.111111111111IA有四列都加到第一列上三把二计算特征多项式,,,:,1111111111111)1(IA有四行分别减去第一行三把二,,,1000212022101111)1(IA1221)1(2.)1()3()32()1(322.1,34321的特征值为于是A,0)3(,31xIA解方程时当,11111得基础解系.1111211p单位化即得,0)(,1432xIA解方程时当,1111,1100,0011232可得正交的基础解系单位化即得21212121,212100,002121432ppp于是正交变换为yyyyxxxx432143212121021212102121021212102121.324232221yyyyf且有6例AxxfAT阶实对称矩阵，二次型为已知3.,]1,1,1[31,,,43321232221QyxQyyyQyxT所作的正交变换试求，且中矩阵其化为标准形经正交变换解两两正交，且由，，正交知，由321Q知则由的特征向量为对应特征值征向量，设的特是对应于，，，的特征值为题设知0,],,[144113213xxxxxAATT0321xxx的线性无关特征向量的对应于特征值由此可得1ATT]1,0,1[,]0,1,1[21经正交化、单位化，得TT]2,1,1[61,]0,1,1[2121为因此，正交变换Qyx323321232113162316121316121yyxyyyxyyyx六、小结1.实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的思想方法．化为标准型，并指出表示何种二次1,,321xxxf曲面.323121232221321662355,,xxxxxxxxxxxxf求一正交变换，将二次型思考题1思考题1解答,333351315A二次型的矩阵为解),9)(4(IA可求得,9,4,0321的特征值为于是A.111,011,211321ppp对应特征向量为将其单位化得,626161111ppq,02121222ppq.313131333ppq.,,,321为正交阵则令PqqqP，即故正交变换为Pyx,31062312161312161321321yyyxxx.942322yyf化二次型为.1),,(321表示椭圆柱面可知xxxf特征值问题与二次型第五节正定二次型与正定矩阵一、惯性定理的概念二、正（负）定二次型的判别三、正（负）定二次型四、小结、思考题.,,,,),,2,1(,0,0,,)(11122222112222211（负）数的个数相等中正中正（负）数的个数与则及使及有两个实的可逆变换为它的秩设有实二次型惯性定理定理rrirrirrTkkrizzzfkykykykfPzxCyxrAxxf称为且标准形中正系数个数正惯性指数，负系数个数称为负惯性指数，.，分别记作一、惯性定理为二次型的常称形如下式的标准形221221rppyyyyf规范形：,0001111可以没有）（，，，，，，，，它的系数分别为.的规范形是唯一的在这个顺序下，二次型数全正或全负的情形，比较常用的二次型是系为此，我们引出二、正(负)定二次型的概念,0,)(1xAxxxfT如果对任何设有实二次型定义为实对称矩阵是正定二次型，对应的则称Afxf,0)()1(.正定矩阵为实对称矩阵是负定二次型，对应的则称Afxf,0)()2(.负定矩阵为的实对称矩阵是正半定二次型，对应则称Afxf,0)()3(.正半定矩阵为的实对称矩阵是负半定二次型，对应则称Afxf,0)()4(.负半定矩阵222164),,(zyxzyxf为正定二次型2221213),(xxxxf为负定二次型例如.,)()5(为不定型二次型则称可正可负fxf2221213),(xxxxf为不定型二次型222132