高中数学 导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.3函数的最大小值与导数(二)学案新人教A版

1专题课件1．3.3函数的最大(小)值与导数(二)学习目标1.理解极值与最值的关系，并能利用其求参数的范围.2.能利用导数解决一些简单的恒成立问题．知识点用导数求函数f(x)最值的基本方法(1)求导函数：求函数f(x)的导函数f′(x)；(2)求极值嫌疑点：即f′(x)不存在的点和f′(x)＝0的点；(3)列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出f′(x)与f(x)随x变化的一览表；(4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出f(x)的极值点和极值；(5)求区间端点的函数值；(6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f(x)在其定义域内的最大值和最小值.类型一由极值与最值关系求参数范围例1若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是()A．(－1，11)B．(－1,4)C．(－1,2]D．(－1,2)考点利用导数求函数中参数的取值范围题点最值存在性问题答案C解析由f′(x)＝3－3x2＝0，得x＝±1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘－2↗2↘2由此得a2－12－1a，解得－1a11.又当x∈(1，＋∞)时，f(x)单调递减，且当x＝2时，f(x)＝－2.∴a≤2.综上，－1a≤2.反思与感悟函数在开区间内存在最值，则极值点必落在该区间内．跟踪训练1若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有最小值，则实数b的取值范围是()A．(0,1)B．(－∞，1)C．(0，＋∞)D.0，12考点利用导数求函数中参数的取值范围题点最值存在性问题答案D解析由题意得，函数f(x)＝x3－6bx＋3b的导数f′(x)＝3x2－6b在(0,1)内有零点，且f′(0)0，f′(1)0，即－6b0，且(3－6b)0，∴0b12，故选D.类型二与最值有关的恒成立问题例2已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－23与x＝1处都取得极值．(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间；(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)c2恒成立，求实数c的取值范围．考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立中参数的取值范围解(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，因为f′(1)＝3＋2a＋b＝0，f′－23＝43－43a＋b＝0，解得a＝－12，b＝－2，所以f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝－23或x＝1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－∞，－23－23－23，11(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋3f(x)↗极大值↘极小值↗所以函数f(x)的单调递增区间为－∞，－23，(1，＋∞)；单调递减区间为－23，1.(2)由(1)知，f(x)＝x3－12x2－2x＋c，x∈[－1,2]，当x＝－23时，f－23＝2227＋c为极大值，因为f(2)＝2＋c，所以f(2)＝2＋c为最大值．要使f(x)c2(x∈[－1,2])恒成立，只需c2f(2)＝2＋c，解得c－1或c2.故实数c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．引申探究若本例中条件不变，“把(2)中对x∈[－1,2]，不等式f(x)c2恒成立”改为“若存在x∈[－1,2]，不等式f(x)c2成立”，结果如何？解由典例解析知当x＝1时，f(1)＝c－32为极小值，又f(－1)＝12＋cc－32，所以f(1)＝c－32为最小值．因为存在x∈[－1,2]，不等式f(x)c2成立，所以只需c2f(1)＝c－32，即2c2－2c＋30，解得c∈R.故实数c的取值范围为R.反思与感悟分离参数求解不等式恒成立问题的步骤跟踪训练2(1)已知函数f(x)＝2xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3对一切x∈(0，＋∞)，f(x)≥g(x)恒成立，则a的取值范围是________．考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立中参数的取值范围4答案(－∞，4]解析由2xlnx≥－x2＋ax－3，得a≤2lnx＋x＋3x.设h(x)＝2lnx＋3x＋x(x0)．则h′(x)＝x＋3x－1x2，当x∈(0,1)时，h′(x)0，h(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)0，h(x)单调递增．∴h(x)min＝h(1)＝4.∴a≤4.(2)设L为曲线C：y＝lnxx在点(1,0)处的切线．①求L的方程；②证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方．考点利用导数求函数中参数的取值范围题点恒成立中的证明问题①解设f(x)＝lnxx，则f′(x)＝1－lnxx2，所以f′(1)＝1，所以L的方程为y＝x－1.②证明设g(x)＝x－1－f(x)，除切点外，曲线C在直线L的下方等价于∀x0且x≠1，g(x)0.g(x)满足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝x2－1＋lnxx2.当0x1时，x2－10，lnx0，所以g′(x)0，故g(x)在(0,1)上单调递减；当x1时，x2－10，lnx0，所以g′(x)0，故g(x)在(1，＋∞)上单调递增；所以，∀x0且x≠1，g(x)g(1)＝0.所以除切点外，曲线C在直线L的下方.51．函数f(x)＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是()A．0B.1eC.4e4D.2e2考点利用导数求函数的最值题点利用导数求不含参数函数的最值答案B解析f′(x)＝e－x－xe－x＝e－x(1－x)，∴当0≤x≤1时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，当1≤x≤4时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，∴当x＝1时，f(x)max＝f(1)＝1e.故选B.2．函数f(x)＝xlnx的最小值为()A．e2B．－eC．－e－1D．－103考点利用导数求函数的最值题点利用导数求不含参数函数的最值答案C解析∵f(x)＝xlnx，定义域是(0，＋∞)，∴f′(x)＝1＋lnx，令f′(x)0，解得x1e，令f′(x)0，解得0x1e，∴函数在0，1e上单调递减，在1e，＋∞上单调递增，故当x＝1e时，函数取最小值－1e，故选C.3．已知函数f(x)＝ex－x＋a，若f(x)0恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－1，＋∞)B．(－∞，－1)C．[－1，＋∞)D．(－∞，－1]考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立中参数的取值范围6答案A解析f′(x)＝ex－1，令f′(x)0，解得x0，令f′(x)0，解得x0，故f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝f(0)＝1＋a，若f(x)0恒成立，则1＋a0，解得a－1，故选A.4．已知函数f(x)＝x3－3x2＋2，x1，x2是区间[－1,1]上任意两个值，M≥|f(x1)－f(x2)|恒成立，则M的最小值是________．考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立中参数的取值范围答案4解析f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，当－1≤x0时，f′(x)0，f(x)单调递增，当0x≤1时，f′(x)0，f(x)单调递减，所以当x＝0时，f(x)取得极大值，也为最大值，f(0)＝2，又f(－1)＝－2，f(1)＝0，所以f(x)的最小值为－2，对[－1,1]上任意x1，x2，|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min＝4，所以M≥|f(x1)－f(x2)|恒成立，等价于M≥4，即M的最小值为4.5．已知函数f(x)＝ax4lnx＋bx4－c(x0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数．(1)试确定a，b的值；(2)讨论函数f(x)的单调区间；(3)若对任意x0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求实数c的取值范围．考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立中参数的取值范围解(1)由f(x)在x＝1处取得极值－3－c知f(1)＝b－c＝－3－c，得b＝－3.又f′(x)＝4ax3lnx＋ax4·1x＋4bx3＝x3(4alnx＋a＋4b)，由f′(1)＝0，得a＋4b＝0，a＝－4b＝12.(2)由(1)知f′(x)＝48x3lnx(x0)．7令f′(x)＝0，得x＝1.当0x1时，f′(x)0，f(x)为减函数；当x1时，f′(x)0，f(x)为增函数．因此，f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)．(3)由(2)知f(1)＝－3－c既是极小值，也是(0，＋∞)内的最小值，要使f(x)≥－2c2(x0)恒成立，只需－3－c≥－2c2，即2c2－c－3≥0.从而(2c－3)(c＋1)≥0，解得c≥32或c≤－1.故实数c的取值范围为(－∞，－1]∪32，＋∞.1．若函数在开区间内存在最值，则极值点必落在已知区间内．2．已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解；若不能分离，则构造函数，利用函数的性质求最值.一、选择题1．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)在[－1,1]上的最大值、最小值分别为()A．0，－4B.427，－4C.427，0D．2,0考点利用导数求函数的最值题点利用导数求不含参数函数的最值答案B解析由题意得f1＝0，f′1＝0，即p＋q＝1，3－2p－q＝0，得p＝2，q＝－1.则f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1，令f′(x)＝0得x＝1或x＝13，8由f13＝427，f(－1)＝－4，f(1)＝0，∴f(x)max＝427，f(x)min＝－4.2．已知a，b为正实数，函数f(x)＝ax3＋bx＋2在[0,1]上的最大值为4，则f(x)在[－1,0]上的最小值为()A．0B.32C．－2D．2考点利用导数求函数的最值题点利用导数求含参数函数的最值答案A解析因为a，b为正实数，所以f(x)＝ax3＋bx＋2是增函数，函数f(x)＝ax3＋bx＋2在[0,1]上的最大值f(1)＝a＋b＋2＝4，a＋b＝2.在[－1,0]上的最小值为f(－1)＝－(a＋b)＋2＝0.3．若关于x的不等式x3－3x＋3＋a≤0恒成立，其中－2≤x≤3，则实数a的最大值为()A．1B．－1C．－5D．－21考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案D解析若关于x的不等式x3－3x＋3＋a≤0恒成立，则a≤－x3＋3x－3在[－2,3]上恒成立，令f(x)＝－x3＋3x－3，x∈[－2,3]，则f′(x)＝－3x2＋3＝－3(x＋1)(x－1)，令f′(x)0，解得－1x1，令f′(x)0，解得x1或x－1，故f(x)在[－2，－1)上单调递减，在(－1,1)上单调递增，在(1,3]上单调递减，而f(－2)＝－1，f(－1)＝－5，f(1)＝－1，f(3)＝－21，故a≤－21，故a的最大值是－21.4．当x∈(0,3)时，关于x的不等式ex－x－2mx0恒成立，则实数m的取值范围是()A.－∞，e－12B.e－12，＋∞C．(－∞，e＋1)D．(e＋1，＋∞)9考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案A解析当x∈(0,3)时，关于x的不等式ex－x－2mx0恒成立，即为2m＋1exx在(0,3)上的最小值，令f(x)＝exx，则f′(x)＝exx－1x2，当0x1时，f′(x)0，f(x)单调递减；当1x3时，f′(x)0，f(x)单调递增．可得f(x)在x＝1处取得最小值e，即有2m＋