线性代数-行列式(完整版)

第1章行列式行列式是线性代数的一个重要组成部分.它是研究矩阵、线性方程组、特征多项式的重要工具.本章介绍了n阶行列式的定义、性质及计算方法，最后给出了它的一个简单应用——克莱姆法则.第1章行列式2n阶行列式的定义行列式的性质行列式按行（列）展开克莱姆法则—行列式的一个简单应用数学实验第1.1节n阶行列式的定义3本节从二、三阶行列式出发，给出n阶行列式的概念.基本内容：二阶与三阶行列式排列及其逆序数n阶行列式定义转置行列式返回4即2112221122211211aaaaaaaa称其为二阶行列式.22211211aaaa记号：21122211aaaa它表示数：称为它的元素。（数)2,1,jiaij排称为行，今后对任何行列式，横,竖排称为列,,称为列标称为行标中jiaijija,列元素行第表示第ji左上角到右下角表示主对角线，例１2315例２设,132D(1)当为何值时，(2)当为何值时,0D.0D解132D032，03或2531)(1323右上角到左下角表示次对角线，例3求二阶行列式21ba(2)三阶行列式7322311332112312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa记号333231232221131211aaaaaaaaa即称为三阶行列式.它表示数8322311332112312213322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa可以用对角线法则来记忆如下.9322311332112312213322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa主对角线法例4计算三阶行列式10解:由主对角线法，有14243122421D411)2()2(2)3(2)4(4)2()4()3(12)2(21D48243264例560150432130112010126321)1(10601)1(52043051642)1(03481058101001)1(213008例6,,Rba满足什么条件时有10100abba10100abba解由题可得，即使,022baba,,,Rba.0ba0ba即时，给定的行列式为零．02a2b例71140101aa的充分必要条件是什么？解1140101aa012a1a1a或01140101aa1a或1a02a1练习：计算下列行列式14005310111122xxxx11122xxxx解)1(2xx)1(x12x13x2x14005310115174311.排列及其逆序数15(1)排列由自然数1,2,…,n,组成的一个有序数组i1i2…in称为一个n级排列.如：由1,2,3可组成的三级排列有3！=6个：123132213231312321（总数为n!个）注意:上述排列中只有第一个为自然顺序(小大),其他则或多或少地破坏了自然顺序(元素大小与位置相反)——构成逆序.§1.2n阶行列式(2)排列的逆序数16定义：在一个n级排列i1i2…in中，若某两数的前后位置与大小顺序相反,即isit(ts),则称这两数构成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数，记为N(i1i2…in).=3=2例1N(2413)N(312)(2)排列的逆序数17定义：在一个n级排列i1i2…in中，若某两数的前后位置与大小顺序相反,即isit(ts),则称这两数构成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数，记为N(i1i2…in).奇偶排列:若排列i1i2…in的逆序数为奇（偶）数，称它为奇（偶）排列.=3=2例1N(2413)N(312)逆序数的计算方法)(21niiiN1nt1t即nt的自然数，至不妨设元素为n1并规定从小到大的逆序数，逆序之和就是niii21为标准次序。级排列。为一个设niiin21),2,1(niij考虑元素个，的逆序是那么jitj个，前面的元素有jjti大，且排在如果比ji全体元素njjt1例2N(n(n-1)…321)N(135…(2n-1)(2n)(2n-2)…42)=0+1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2=2+4…+(2n-2)=n(n-1)证明：19对换：对换在一个排列i1…is…it…in中，若其中某两数is和it互换位置,其余各数位置不变得到另一排列i1…it…is…in,这种变换称为一个对换,记为(isit).例3)43(12430125NNNN)31(3421)42(14231234定理1.1：任一排列经过一个对换后奇偶性改变。20对换在相邻两数间发生，即设排列…jk…(1)经j,k对换变成…kj…(2)此时，排列(1)、(2)中j,k与其他数是否构成逆序的情形未发生变化；而j与k两数构成逆序的情形有变化：若(1)中jk构成逆序,则(2)中不构成逆序(逆序数减少1)若(1)中jk不构成逆序,则(2)中构成逆序(逆序数增加1)一般情形设排列…ji1…isk…(3)经j,k对换变成…ki1…isj…(4)易知，(4)可由(3)经一系列相邻对换得到：k经s+1次相邻对换成为…kji1…is…j经s次相邻对换成为…ki1…isj…即经2s+1次相邻对换后(3)成为(4).相邻对换改变排列的奇偶性，奇数次这样的对换后排列的奇偶性改变.||定理1.2．个排列，个数码共有!nn,一半其中奇偶排列各占.2!n各为22思考练习（排列的逆序数详解）方法1在排列x1x2…xn中，任取两数xs和xt(st),则它们必在排列x1x2…xn或xnxn-1…x1中构成逆序，且只能在其中的一个排列中构成逆序.又在排列x1x2…xn中取两数的方法共有依题意，有2)1()!2(!2!2nnnnCn故排列x1x2…xn与xnxn-1…x1中逆序之和为2)1(nn.I2)1()(11nnxxxNnn此即方法223n个数中比i大的数有n-i个(i=1,2,…,n),若在排列x1x2…xn中对i构成的逆序为li个,则在xnxn-1…x1中对i构成的逆序为(n-i)-li,于是两排列中对i构成的逆序之和为li+[(n-i)-li]=n-i(i=1,2,…,n)2)1(12)2()1()()(1121nnnnxxxNxxxNnnn从而此即.I2)1()(11nnxxxNnn（二）n阶行列式定义24分析：(i)每一项均是由取自不同行、不同列的三个元素的乘积构成，除符号外可写为(ii)符号为322311332112312213322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa321321jjjaaa“+”123231312（偶排列）“-”321213132（奇排列）)(321)1(jjjN(iii)项数为3！=6321321321)()1(jjjjjjNaaa333231232221131211aaaaaaaaa322113312312332211aaaaaaaaa322311332112312213aaaaaaaaa231123213312013232123121321321jjjaaa)()(3211jjjN321jjj取遍所有的三级排列22211211aaaa21122211aaaa1221012121jjaa)()(211jjN21jj12取21和推广之，有如下n阶行列式定义26定义：是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积nnjjjaaa2121并冠以符号的项的和.)(21)1(njjjNnnnnnnaaaaaaaaaD212222111211nnnjjjjjjNaaa212121)()1()(ijaDet记(i)是取自不同行、不同列的n个元素的乘积；(ii)行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性决定每一项的符号；(iii)表示对所有的构成的n！个排列求和.nnjjjaaa2121njjj21)(21njjjN2(,1,2,,)ijnaijnn个元素排成的阶行列式例1证明下三角行列式27证：由定义nnnnnnnaaaaaaaaaaaaaD2211321333231222111000000时，1,2,,1,121jjnjnjnn和式中,只有当nnnjjjjjjNaaaD212121)()1(02121nnjjjaaannnnnNaaaaaaD22112211)123()1(所以下三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积.Dnnnnnaaaaaaaaaa000000333223221131211nnaaaa000000000000332211nnaaa22110iia),2,1(ninnaaa2211其中:特殊情况对角形行列式同理可得上三角形行列式例2计算29000000000000121nnD解11,21)321)1(()1(nnnnnNaaaDnnn212)1()1(由行列式定义,时，1,2,,1,121nnjjnjnj02121nnjjjaaa和式中仅当nnnjjjjjjaaaD212121)()1(注：2)1()1(nnnnnnnjjnjjjjjjNaaaa121121121)()1(000000112111222211111211nnnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaa1211111221210000001121nnnaaa类似可得例3用行列式的定义来计算行列式ija)4,3,2,1,(ji解1100001001011010设1100001001011010级排列所有的取遍44321)(432143214321)1(jjjjjjjjjjjjNaaaa43a14a32a21a)4123()1(N)1(3110100111010100111练习：级排列所有取遍443214321432143211jjjjjjjjjjjjNaaaa)()(34a111aija43a)1243()1(N22a4311aa32a24a)1423()1(N10kji,,例4ija4213425)1452()432()1(kjijNkiNaaaaa应为何值，符号是什么？此时该项的,3j解此时5,1ki1,5ki或(1),5,1,3kij)52314()14325(NN若则9取负号．(2)若,1,5,3kij则)52314()54321(NN16取正号．若是五阶行列式的一项，则例5用行列式定义计算xxxxx111123111212中的系数，并说明理由与中34xx解：)()(12341Nxxx1xxxx)(242x