扩展的单方程计量经济学模型

第八章扩展的单方程计量经济学模型§8.1变参数线性单方程计量经济学模型§8.2简单的非线性单方程计量经济学模型§8.3二元离散选择模型§8.4固定影响平行数据模型§8.1变参数线性单方程计量经济学模型经典计量模型中，通常假定参数为常数，即产生样本观测值的总体经济结构不变，解释变量对被解释变量的影响保持不变，称之为常参数模型实际上，变参数的情况是经常发生的。若将参数作为变量，就得到变参数模型下面仅介绍几类较简单的变参数模型一、确定性变参数模型模型中参数是确定性变量而非随机变量，则模型称为确定性变参数模型若模型中参数是随机变量而非确定性变量，则模型称为随机变参数模型确定性变参数模型可以有以下几种类型1.参数随某一个变量呈规律性变化以一元线性模型为例常参数模型为（8.1.1）确定性变参数模型为：（8.1.2）其中和为确定性变量。如果有（8.1.3）其中，，，是常数，为确定性变量，则变参数，随着确定性变量而变化。tttttyxtt0101ttttpp0011tptttyxtttp模型估计将（8.1.3）代入（8.1.2）得到（8.1.4)因为确定性变量与随机扰动项不相关，可以使用OLS方法估计（8.1.4）式，得到参数估计量，，，。可以通过检验与的显著性来检验变量是否对，有影响0101ttttttypxpxtp0ˆ0ˆ1ˆ1ˆ1ˆ1ˆtptp1ˆ2.参数作间断性变化（结构突变）如果有（8.1.5）则模型的参数在处发生了结构突变。这类变参数模型的估计可分为3种不同情况进行讨论。0101ttttpp001,01tttnpntnp当时当时，0n（1）已知如果突变点已知，则可以分段建立模型进行分段估计。将方程（8.1.2）改写为（8.1.6）分别估计这两个方程，得到参数估计量，，，。也可以建立一个统一的模型：（8.1.7）其中为虚拟变量，其定义为直接估计(8.1.7)式，便可得到参数的估计量。参见例8.1.1001,tttyx0n01012()(),tttyx01,2,,tn01,,tnn0n0ˆ0ˆ1ˆ1ˆ0101,ttttttyDxDx001,01tttnDntnD当时当时，tD（2）未知，但当突变点未知时，一般可以选择不同的，按照（1）中的方法进行分段试估计，然后从多次试估计中选择最优者。选择的标准是使得（8.1.6）式中两段方程的残差平方和之和最小。0n0n12()()ttVarVar0n（3）未知，但此时，将看作待估参数。模型采用（8.1.6）的形式，假设且不存在自相关。构造关于的对数似然函数遍取作为的可能值，代入似然函数，选择使对数似然函数达到最大的作为突变点的估计值。0n221122(0,)(0,)ttNN和200102ln(,,|)ln(2)ln()ln2nLnnnn00200211201012121()21[()()]2ntttntttnyxyx12()()ttVarVar0n0n0n1,2,,n0n3.Chow检验关于结构突变的检验，广泛应用的是G.C.Chow于1960年提出的Chow检验。相关内容在§3.6中已有介绍。一般应用软件中，只需选择Chow检验，并输入相应的，其它则自动完成。0n二、随机变参数模型首先考虑一种简单的情形以模型（8.1.2）为例，假定其参数满足：（8.1.8）其中和为具有零均值的随机扰动项。一般的随机变参数模型此时假定参数满足：（8.1.9）为确定性变量。容易看出（8.1.8）为（8.1.9）的特例。将（8.1.9）代入模型（8.1.2）可以导出一个具有异方差性的多元线性模型，可以采用加权最小二乘法等方法来进行估计。,tttttt,ttttttpptp§8.2非线性单方程计量经济学模型1.可线性化的非线性回归模型有些非线性回归模型，其形式是非线性的，但可以通过适当的变换，转化为线性模型，然后利用线性回归模型的估计与检验方法进行处理。称此类模型为可线性化的非线性模型。2.不可线性化的非线性回归模型对于不可线性化的非线性模型，可采用非线性方法进行估计。专用软件使得这种计算变得非常容易。1.可线性化的非线性回归模型（1）多项式函数模型（2）双曲线函数模型（3）对数函数模型（4）生长曲线(logistic)模型（5）指数函数模型（6）幂函数模型（1）多项式函数模型比如下面的多项式方程可令，上式变为这是一个三元线性回归模型。230123tttttyxxx23123,,ttttttxxxxxx0112233tttttyxxx二次多形式模型对于模型可令便得230123tttttyxxx(0,0)(0,0）1212212,ttttxxxx2012ttttyxx01122ttttyxx(2)双曲线函数模型对于令，得已变换为线性回归模型。双曲线函数还有另一种表达方式，令，得上式已变换成线性回归模型。1/yt=a+b/xt+utyt=a+b/xt+ut1/tttabxuy/tttyabxu1/,1/ttttyyxxtttyabxu1/ttxxtttyabxu(3)对数函数模型半对数模型或以及双对数模型虽然变量之间是非线性关系，但模型还是可线性化的，且经济意义解释变得更直接。比如双对数模型的系数就是弹性。01lntttyx01lntttyx01lnlntttyx(4)生长曲线(logistic)模型美国人口统计学家Pearl和Reed广泛研究了有机体的生长，得到了上述数学模型。生长模型（或逻辑斯谛曲线，Pearl-Reed曲线）常用于描述有机体生长发育过程。其中k和0分别为的上限和下限。a,b为待估参数。曲线有拐点，曲线的上下两部分对称于拐点。ttubtautftekeky11)(,0ttttLimykLimyty生长曲线模型的线性化为能运用最小二乘法估计参数a,b，必须事先估计出生曲线长上极限值k。线性化过程如下。当上极限值k给定时，作如下变换，tubtateyk1移项，tubtateyk1，取自然对数，ttubtaykLn1令1*ttykLny，则yt*=a–bt+ut此时可用最小二乘法估计a和b。(5)指数函数模型上式等号两侧同取自然对数，得令，则其中表示随机误差项。-10010203040506050100150200250300350400-0.4-0.20.00.20.40.60.81.01.250100150200250300350400,(0),(0)ttttbxubxuttyaebyaeblnlntttyabxuln,lnttyyaatttyabxutu(6)幂函数模型(双对数模型)对上式等号两侧同取对数，得令,则上式表示为变量和之间已成线性关系。幂函数模型也称作双对数模型。tubtteaxy(b1)(0b1)(b=-1)(b-1)(0b-1)lnlnlntttyabxuln,ln,lnttttyyaaxxtttyabxutytx2.不可线性化的非线性回归模型本部分内容不作要求，在中级或高级计量经济学中再作介绍。§8.3二元离散选择模型一、二元离散选择模型的经济背景二、二元离散选择模型三、二元Probit离散选择模型及其参数估计四、二元Logit离散选择模型及其参数估计五、二元离散选择模型的变量显著性检验说明在经典计量经济学模型中，被解释变量通常被假定为连续变量。离散被解释变量数据计量经济学模型（ModelswithDiscreteDependentVariables）和离散选择模型(DCM,DiscreteChoiceModel)。二元选择模型(BinaryChoiceModel)和多元选择模型(MultipleChoiceModel)。本节只介绍二元选择模型。模型产生的背景离散选择模型起源于Fechner于1860年进行的动物条件二元反射研究。1962年，Warner首次将它应用于经济研究领域，用以研究公共交通工具和私人交通工具的选择问题。70、80年代，离散选择模型被普遍应用于经济布局、企业定点、交通问题、就业问题、购买决策等经济决策领域的研究。模型的估计方法主要发展于80年代初期。一、二元离散选择模型的经济背景研究选择结果与影响因素之间的关系。影响因素包括两部分：决策者的属性和备选方案的属性。对于单个方案的取舍。例如，购买者对某种商品的购买决策问题，求职者对某种职业的选择问题，投票人对某候选人的投票决策，银行对某客户的贷款决策。由决策者的属性决定。对于两个方案的选择。例如，两种出行方式的选择，两种商品的选择。由决策者的属性和备选方案的属性共同决定。二、二元离散选择模型1、原始模型对于二元选择问题，可以建立如下计量经济学模型。其中Y为观测值为1和0的决策被解释变量；X为解释变量，包括选择对象所具有的属性和选择主体所具有的属性。YXyiXii0)(iEiX)(iyEiiiipyPyPyE)0(0)1(1)(EyPyii()()1Xi左右端矛盾)0(1)1(iiiiyPpyPp模型存在的问题由于存在这两方面的问题，所以原始模型不能作为实际研究二元选择问题的模型。需要将原始模型变换为效用模型。这是离散选择模型的关键。iiiyy1101XXXXiiii当，其概率为当，其概率为具有异方差性2、效用模型效用函数Uiii11X1第i个个体选择1的效用Uiii000X第i个个体选择0的效用UUiiiii1010X10()()yii**Xi作为研究对象的二元选择模型PyPyPiii()()()**10Xi说明注意，在模型中，效用是不可观测的，人们能够得到的观测值仍然是选择结果，即1和0。很显然，如果不可观测的U1U0，即对应于观测值为1，因为该个体选择公共交通工具的效用大于选择私人交通工具的效用，他当然要选择公共交通工具；相反，如果不可观测的U1≤U0，即对应于观测值为0，因为该个体选择公共交通工具的效用小于选择私人交通工具的效用，他当然要选择私人交通工具。3、最大似然估计欲使得效用模型可以估计，就必须为随机误差项选择一种特定的概率分布。两种最常用的分布是标准正态分布和逻辑（logistic）分布，于是形成了两种最常用的二元选择模型—Probit模型和Logit模型。最大似然函数及其估计过程如下：似然函数的推导推导过程FtFt()()1标准正态分布或逻辑分布的对称性PyPyPPFFiiii()()()()()()***1011XXXXiiiiPyyyFFnyyii(,,,)(())()12011XXiiLFFin(())(())XXiyi1yii11似然函数一阶条件在样本数据的支持下，如果知道概率分布函数和概率密度函数，求解该方程组，可以得到模型参数估计量。ln(ln()()ln(()))LyFyFiiinXXii111ln()()LyfFyfFiiiiiiin111X0i1阶极值条件三、二元Probit离散选择模型1、标准