线性代数公式手册

目录线性代数..................................................................1(一)行列式.............................................................1(二)矩阵...................................................................2(三)向量.................................................................5(四)线性方程组.......................................................8(五)矩阵的特征值和特征向量.............................10(六)二次型..............................................................111线性代数(一)行列式考试内容对应公式、定理、概念行列式的概念和基本性质、行列式按行（列）展开定理行列式按行（列）展开定理(1)1122,(),0,ijnnijijinjnAijAaaAaAaAij设则或1122,0,ijijninjAijaAaAaAij即**,AAAAAE其中112111222212*()()nTnjiijnnnnAAAAAAAAAAAA(2)设,AB为n阶方阵，则ABABBABA但ABAB不一定成立(3)||||,nkAkAAn为阶方阵(4)111|||;||||(|*|||2TnAnAAAAAAAn设为阶方阵，则|若可逆）（）5||||,AOACAOABABOBOBCB（），为方阵，2但1||||.mmmnnnOAABBO（）(6)范德蒙行列式12111112111()nnijjinnnnnxxxDxxxxx设A是n阶方阵，(1,2,)iin是A的n个特征值，则1||niiA(二)矩阵考试内容对应公式、定理、概念矩阵的概念，矩阵的线性运算，矩阵的乘法，矩阵：ijmnamn个数排成行列的表格111212122212nnmmmnaaaaaaaaa称为矩阵，简记为,().ijmnAamn或若，则称A是n阶矩阵或n阶方阵.矩阵的线性运算1矩阵的加法设(),()ijijAaBb是两个mn矩阵，则mn矩阵()ijijijCcab称为矩阵A与B的和，记为ABC2矩阵的数乘设()ijAa是mn矩阵，k是一个常数，则3mn矩阵()ijka称为数k与矩阵A的数乘，记为kA.3矩阵的乘法设()ijAa是mn矩阵，()ijBb是ns矩阵，那么ms矩阵()ijCc，其中11221nijijijinnjikkjkcabababab称为AB与的乘积的乘积，记为CAB方阵的幂，方阵乘积的行列式，矩阵的转置，逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充要条件，伴随矩阵，11*TAAA、、三者之间的关系1)(),(),(),()TTTTTTTTTTAAABBAkAkAABAB111111112)(),(),(),AAABBAkAAk但111()ABAB不一定成立，23)(*)*||(3)nAAAn，()***,ABBA1()**(2).nkAkAn但()***ABAB不一定成立11114)()(),()*(*),(*)()*TTTTAAAAAA2有关A*的结论1)**||AAAAAE1122)|*|||(2),()**,(*)*||(3)nnnAAnkAkAAAAn3)若A可逆，则11*||,(*)*||AAAAAA44)若A为n阶方阵，则,()(*)1,()10,()1nrAnrArAnrAn3有关1A的结论;||0;();0AABEArAnAAAx可逆可以表示为初等矩阵的乘积；无零特征值；只有零解矩阵的初等变换，初等矩阵，矩阵的秩，矩阵等价，分块矩阵及其运算1有关矩阵秩的结论1）秩r（A）=行秩=列秩；2）()min(,);mnrAmn3）0()1ArA；4）()()();rABrArB5）初等变换不改变矩阵的秩6）()()()min((),()),rArBnrABrArB特别若ABO则()()rArBn7）若1A存在()();rABrB若1B存在()();rABrA若()()();mnrAnrABrB若()()();msrAnrABrA8）()0msrAnAx只有零解2分块求逆公式111AOAOOBOB；511111ACAACBOBOB；11111AOAOCBBCAB；111OAOBBOAO这里A，B均为可逆方阵(三)向量考试内容对应公式、定理、概念向量的概念，向量的线性组合和线性表示，向量的线性相关与线性无关1有关向量组的线性表示(1)12,,,s线性相关至少有一个向量可以用其余向量线性表示.(2)12,,,s若线性无关，12,,,s，线性相关可以由12,,,s惟一线性表示.(3)可以由12,,,s线性表示1212,,,)(,,,,ssrr(）2有关向量组的线性相关性(1)部分相关，整体相关；整体无关，部分无关.(2)①n个n维向量122,]|0nn1线性无关|[，，，，n个n维向量12,n线性相关62,,,]|0n1|[，②n+1个n维向量线性相关.③若12,S线性无关，则添加分量后仍线性无关；或一组向量线性相关，去掉某些分量后仍线性相关向量组的极大线性无关组，等价向量组，向量组的秩1有关向量组的线性表示(1)12,,,s线性相关至少有一个向量可以用其余向量线性表示.(2)12,,,s若线性无关，12,,,s，线性相关可以由12,,,s惟一线性表示.(3)可以由12,,,s线性表示1212,,,)(,,,,)ssrr(向量组的秩与矩阵的秩之间的关系，向量空间及相关概念1设()mnrAr，则A的秩()rA与A的行列向量组的线性相关性关系为：(1)若()mnrArm，则A的行向量组线性无关.(2)若()mnrArm，则A的行向量组线性相关.(3)若()mnrArn，则A的列向量组线性无关.(4)若()mnrArn，则A的列向量组线性相关n维向量空间的基1基变换公式及过渡矩阵7变换和坐标变换，过渡矩阵若12,,,n与12,,,n是向量空间V的两组基，则基变换公式为111212122212121212(,,,)(,,,)(,,,)nnnnnnnnnccccccCccc其中C是可逆矩阵，称为由基12,,,n到基12,,,n的过渡矩阵2坐标变换公式若向量在基12,,,n与基12,,,n的坐标分别是12(,,,)TnXxxx，12(,,,)TnYyyy即11221122nnnnxxxyyy，则向量坐标变换公式为1XCYYCX或其中C是从基12,,,n到基12,,,n的过渡矩阵向量的内积，线性无关向量组的正交规范化方法内积：1122(,)TTnnabababSchmidt正交化若12,,,s线性无关，则可构造12,,,s使其两两正交，且i仅是12,,,i的线性组合(1,2,,)in，再把i单位化，记iii，则12,,,i是规范正交向量组.其中811，2122111(,)(,)313233121122(,)(,)(,)(,)…………………………………121121112211(,)(,)(,)(,)(,)(,)sssssssss规范正交基，正交矩阵及其性质1正交基及规范正交基向量空间一组基中的向量如果两两正交，就称为正交基；若正交基中每个向量都是单位向量，就称其为规范正交基(四)线性方程组考试内容对应公式、定理、概念线性方程组的克莱姆法则，奇次线性方程组有非零解的充分必要条件1克莱姆法则线性方程组11112211211222221122nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb，如果系数行列式0DA，则方程组有唯一解1212,,,nnDDDxxxDDD，其中jD是把D中第j列元素换9成方程组右端的常数列所得的行列式.2n阶矩阵A可逆0Ax只有零解.,bAxb总有唯一解，一般地，()0mnrAnAx只有零解.非奇次线性方程组有解的充分必要条件，线性方程组解的性质和解的结构1设A为mn矩阵，若()mnrAm，则对Axb而言必有()(),rArAbm从而Axb有解.2设12,,sxxx为Axb的解，则1122sskxkxkx当121skkk时仍为Axb的解；但当120skkk时，则为0Ax的解.特别122xx为Axb的解；3122()xxx为0Ax的解.3非齐次线性方程组Axb无解()1()rArAb不能由A的列向量12,,,n线性表示.奇次线性方程组的基础解系和通解，解空间，非奇次线性方程组的通解.1齐次方程组0Ax恒有解(必有零解).当有非零解时，由于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量，因此0Ax的全体解向量构成一个向量空间，称为该方程组的解空间，解空间的维数是()nrA，解空间的一组基称为齐次方程组的基础解系.212,,,t是0Ax的基础解系，即(1)12,,,t是0Ax的解；(2)12,,,t线性无关；(3)0Ax的任一解都可以由12,,,t线性表出.1122ttkkk是0Ax的通解，其中12,,,tkkk是任意常数.10(五)矩阵的特征值和特征向量考试内容对应公式、定理、概念矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，1设是A的一个特征值，则21,,,,(),,,*mTkAaAbEAAfAAAA有一个特征值分别为21||,,,,(),,,,mAkabf且对应特征向量相同（TA例外）.2若12,,,n为A的n个特征值，则111,||nnniiiiiiiaA从而||0AA没有特征值.3设12,,,s为A的s个特征值，对应特征向量为12,,,s，若1122,sskkk则1122111222nnnnnnnsssssAkAkAkAkkk相似变换、相似矩阵的概念及性质，1若AB，则(1)11,,**.TTABABAB(2)11||||,,()()nniiiiiiABAbrArB(3)||||,EAEB对成立矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵，1设A为n阶方阵，则A可对角化对每个ik重根特征值i，有()iinrEAk2设A可对角化，则由1,PAP有1APP，从而1nnAPP113