利用夹逼准则求极限

利用夹逼准则求极限夹逼准则的使用方法：定理1用夹逼准则求极限，就是将数列放大和缩小。要求放大和缩小后的极限容易求出，此时常将其放大到最大项的整数倍，缩小到最小项的整数倍，并且此时两者极限相等，即两者是等价无穷小，此时就可以得到原数列极限的值。题型1夹逼准则常用于求若干项和的极限推论1极限变化过程中最小项与最大项之比为1时可以使用夹逼准则求其极限。证明：不妨设最小项为)(x，最大项为)(x，数列有n项，则整数倍为n倍，由定理1可知.)()(lim1)()(limxxxnxn例1.求)21...4121(lim222nnnnn.解：.11lim22lim22lim2121lim222222nnnnnnnnnnnnn由推论1，.1221...41212122222nnnnnnnnn由夹逼准则可得所求极限为1.例2.求).1...2111(lim222nnnnnnnn解：.11lim111lim2222nnnnnnnnnnnn由推论1，.011...2111022222nnnnnnnnnnnnnn由夹逼准则可得所求极限为0.例3.求)....2211(lim222nnnnnnnnn解：112)1(112)1(21212122nnnnnnkknnknnnknnnnnnknknk.11lim12)1(112)1(lim2222nnnnnnnnnnnnnnnn由推论1，21112)1(...221112)1(2122222nnnnnnnnnnnnnnnnn由夹逼准则可得所求极限为21.由以上例题可以看出用夹逼准则求极限的关键在于对数列进行恰当的放缩接下来的例题稍有难度，难处仍难在放缩的技巧例4.求!2limnnn.解：).(42...322212!20放到第二项最大！nnnn且0!4limnn.故由夹逼准则可知.0!2limnnn例5.求).1(limnnn解：设),0(1hh则,2)1(...!2)1(1)1(22hnnhhnnnhhnnn从而,)1(202hnnn因为,0)1(2lim2hnn由夹逼准则可知.0limnnn例6.求.1)!sin(lim32nnnn解：由于,111)!sin(03332323232nnnnnnnnnn(三角函数有界性)即332311)!sin(1nnnnn,而,01lim1lim33nnnn由夹逼准则可知.01)!sin(lim32nnnn例7.求.)321(lim1nnnn解：原式.]1)32()31[(3lim]1)32()31[(3lim11nnnnnnnn因为1)32()31(0nn,31)32()31(1nn,两边同时乘以n3得到133213nnnn,再两边同时开n次方根得到.33]321[311nnnn当n时,.3lim3133lim3)33(lim11左边右边nnnnn故由夹逼准则可得.3)321(lim1nnnn例8.求.limxxx解：由取整函数的性质可知.1xxx当,0时x；即111,1xxxxxxxxx当,0时x；即111,1xxxxxxxxx因为，1)11(limxx由夹逼准则可得.1limxxx例9.求).0,0(lim0bxbxx解由取整函数的性质可知)0(1xxbxbxb,当0x时，各项乘以x得到bxbxxb因为,)(lim0bxbx由夹逼准则可得.lim0bxbxx