中科院课件--《现代信号处理的理论和方法》Chapter+2

第二章高阶统计和高阶谱方法2.1矩与累积量2.2矩与累积量的性质2.3高阶谱2.4非高斯信号与线性系统2.5相位估计2.6系统辨识2.1矩与累积量引言高阶矩与高阶累积量的定义高斯信号的高阶矩与高阶累积量矩与累积量的转换关系引言功率谱只揭示了该随机序列的幅度信息，而没有反映出其相位信息。要准确描述随机信号，仅使用二阶统计量是不够的，还要使用高阶统计量。应用：高阶谱可以自动抑制各种加性高斯噪声；高阶谱可以用来重构信号的幅度和相位；高阶谱可以用来检测时间序列的非线性结构。高阶矩与高阶累积量的定义单个随机变量x的高阶矩与高阶累积量：函数g(x)的均值：()defEgxfxgxdx特别地，若jxgxe，则称()defjxjxEefxedx是随机变量x的特征函数。它实际是概率密度函数f(x)的Fourier反变换。特征函数的k阶偏导数：kkkkjxkdjExed用特征函数描述k阶原点矩：令w=0，则0kkkjEx即0kkkkmExj由于k阶矩由生成，故称特征函数为随机变量x的矩生成函数，又称第一特征函数。第二特征函数（又称累积量生成函数）：lndefk阶累积量(cumulant)：0ln0kdefkkkkxkdcjjd多个随机变量的高阶矩与高阶累积量：k个随机变量：x1,…,xk第一联合特征函数：111,,kkdefjxxkEe第一联合特征函数的r=r1+…+rk阶偏导数：11111111,,,,kkkkrrkkrrkjxxrrrkjExxe第二联合特征函数：11,,ln,,kkk阶联合累积量：k个随机变量r阶矩：11111101,,,,kkkkrrkrrrkrrkmExxj当r1=…=rk=1时，有k个随机变量k阶矩1111101,,,,kkkkkmExxj1111101ln,,,,,,kkdefkkkkccumxxj随机信号的高阶矩与高阶累积量：考查平稳随机信号x(t),令1211,,,kkxtxtxtxtxtxt随机信号x(t)的k阶矩：1111,,kxkkmExtxtxt随机信号x(t)的k阶累积量：1111,,,,,kxkkccumxtxtxt高斯随机变量的矩与累积量20,N第一特征函数22/2ek阶矩0,131,kkkmkk奇数偶数第二特征函数22ln2由于22','',0,3,4,kk可得高斯变量的各阶累积量为：201203,4,kxkckk矩与累积量的转换关系集合I={1,2,…,k}的无序、非空、无交连分割令{x1,…,xk}是k个随机变量组成的集合，其符号集为I={1,2,…,k}。满足各子集合的并集12,,,,1,2,,ppIIIIIk即xxxppxppmIxtkcIxtkmIIcII随机信号的阶矩随机信号的阶累积量符号集为的矩符号集为的累积量矩与累积量之间的相互关系：1111111,,,,11!qppqppqxkxppIIqqxkxppIImIExxcIcIcumxxqmI注：求和取遍所有可能的划分。集合I={1,2,3}的分割（1）、分割为一个子集合：q=1121,2,3xImIcumxtxtxt（2）、分割为两个子集合：q=21112221233211,2,32,1,33,1,2xxxImIcumxtcumxtxtImIcumxtcumxtxtImIcumxtcumxtxt（3）、分割为三个子集合：q=3121,2,3xImIcumxtcumxtcumxt由矩-累积量转换公式可得：13122312121221121221321,,,22xxxxxxxxccumxxxExtxtxtExtExtxtExtExtxtExtExtxtExtExtExtExtxtxtRRR特别地，如果x(t)具有零均值，则1111123123122341231232133122343122412234,,,,,,,,,,,,,,,xxxxxcumxxxExtxtxtmExtxtRcumxxxxExtxtxtxtExtxtExtxtExtxtExtxtExtcccxtExtxtcumxxxxEcumxxxxx相应的，有31212434423,,,,,xcumxxcumxxcumxxcumxxcumxx矩和累积量的估计111111111,,1ˆ,,kxkkNkxkktmExtxtxtmxtxtxtN矩的估计：样本矩是理论矩的无偏估计，同时，也是一个一致估计。221312312121412341231322313121ˆˆˆ1ˆˆ,,ˆˆˆˆ,,,,ˆˆˆˆNxxxnNxxnxxxxxxxxcmRxnxnNcmxnxnxnNcmRRRRRR累积量的估计：依据样本来估计高价统计量的经验和分析表明，估计方差随样本数成比例的下降。为了保证三阶以上的统计量有较小的估计方差，通常要求样本数比较大，这是高阶统计方法的一个重要缺点。2.2矩与累积量的性质性质1：111,,,,kkkmomxxcumxxkxx用和分别表示个随机变量的矩和累积量11111111,,,,,,,,kkkikikkkikimomxxmomxxcumxxcumxx性质2：矩和累积量关于它们的变元是对称的，即111111,,,,,,,,kikkkiiikkiimomxxmomxxcumxxcumxx1,,,1,,.kiik其中是的一个排列33333333:,,,,,,,,,,,,xxxxxxxxcmncnmcnmncnmmcmnncmnmcmnmcumxtxtmxtnmcumxtmxtxtnmcmn例性质3：矩和累积量相对其变元具有可加性，即11111221212212,,,,,,,,,,,,,,,,,,kkkkkkmomxyxxmomxxxmomyxxcumxyxxcumxxxcumyxx和的累积量等于累积之和。性质4：若(x1,…,xk)和(y1,…,yk)统计独立，则累积量具有“半不变性”，即111212,,,,,,,,kkkkcumxyxycumxxxcumyyy但高阶矩不具备半不变性。111212,,,,,,,,kkkkmomxyxymomxxxmomyyy性质5：若{x1,…,xk}的一个子集同其他部分独立，则1122,,,0,,,0kkcumxxxmomxxx应用：独立同分布随机过程若e(t)为独立同分布，则其累积量为11111112244,,,,,00,,2,1.0,,0kekkkekkekeeeeeccumetetetkcRkkkmEetetetet其他时白噪声维函数-1维Fourier变换为一常数即独立同分布非高斯噪声的高阶谱是多维平坦的称之为高阶白噪声而独立同分布随机过程的阶矩一般不是函数,例如性质6：若a为一常数，则11112222,,,,,,,,,,,,kkkkcumxaxxcumxxxmomxaxxmomxxx考虑一在高斯有色噪声v(t)中被观测的随机信号x(t)。若v(t)与x(t)相互统计独立，则观测过程y(t)=x(t)+v(t)的累积量为1111111111,,,,,,,,,,,2kykkxkkvkkykkxkccccck任何高斯有色噪声的高价累积量等于零当一个非高斯信号在加性高斯有色噪声中被观测时，观测过程的高价累积量与非高斯信号的高阶累积量等价。但观测过程的高阶矩不一定等于非高斯信号的高阶矩。在高阶统计分析中，用高阶累积量，而不用高阶矩。采用高阶统计，可以有效地抑制非白高斯噪声，达到提取信号的目的。对于一个零均值的平稳过程{x(t)}，其k阶累积量可定义为：111111,,kykkkcExtxtxtEgtgtgt其中，{g(t)}是一高斯随机过程，且与{x(t)}具有相同的相关函数和功率谱，即EgtgtExtxt采用高阶累积可以用来表明一个随机过程偏离正态性或高斯性有多远。2.3高阶谱高阶谱又称多谱，是多个频率的能量谱。高阶谱定义为k阶累积量的(k-1)维离散傅立叶变换，即11111111,,111111,,,,,,kkkkjkxkkxkkxkScec条件：绝对可求和11221211223312322123121234123,,,,,,jxxjxxjxxSceBceTce二阶谱即为功率谱，是单个频率的谱；三阶谱称为双谱，即两个频率的谱：四阶谱称为三谱，即三个频率的谱：双谱的性质：性质1：双谱一般为复数，即12,1212,,BjxxBBe性质2：双谱是以2π为周期的双周期函数，即1212,2,2xxBB性质2：双谱具有下列对称性质，即**12211221122112121212,,,,,,,,xxxxxxxxBBBBBBBB双谱的估计：双谱估计的直接方法