【创新方案】(浙江专版)2014届高考数学二轮专题突破 第3部分 专题一 第2讲 “2道”拉分题专

1“2道”拉分题专练卷(二)1．(2013·温州八校联考)已知函数f(x)＝ex＋2x2－3x.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(x))处的切线方程；(2)当x≥12时，若关于x的不等式f(x)≥52x2＋(a－3)x＋1恒成立，试求实数a的取值范围．解：(1)f′(x)＝ex＋4x－3，则f′(1)＝e＋1，又f(1)＝e－1，∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＋1＝(e＋1)(x－1)，即(e＋1)x－y－2＝0.(2)由f(x)≥52x2＋(a－3)x＋1，得ex＋2x2－3x≥52x2＋(a－3)x＋1，即ax≤ex－12x2－1.∵x≥12，∴a≤ex－12x2－1x令g(x)＝ex－12x2＋1x.则g′(x)＝exx－－12x2＋1x2.令φ(x)＝ex(x－1)－12x2＋1，则φ′(x)＝x(ex－1)．∵x≥12，∴φ′(x)0，∴φ(x)在12，＋∞上单调递增，∴φ(x)≥φ12＝78－12e0，因此g′(x)0，故g(x)在12，＋∞上单调递增，则g(x)≥g12＝e12－18－112＝2e－94.2∴a的取值范围是－∞，2e－94.2．经过点F(0,1)且与直线y＝－1相切的动圆的圆心轨迹为M.点A、D在轨迹M上，且关于y轴对称，过线段AD(两端点除外)上的任意一点作直线l，使直线l与轨迹M在点D处的切线平行，设直线l与轨迹M交于点B、C.(1)求轨迹M的方程；(2)证明：∠BAD＝∠CAD；(3)若点D到直线AB的距离等于22|AD|，且△ABC的面积为20，求直线BC的方程．解：(1)法一：设动圆圆心为(x，y)，依题意得，x2＋y－2＝|y＋1|.整理，得x2＝4y.所以轨迹M的方程为x2＝4y.法二：设动圆圆心为P，依题意得点P到定点F(0,1)的距离和点P到定直线y＝－1的距离相等，根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹是抛物线．且其中定点F(0,1)为焦点，定直线y＝－1为准线．所以动圆圆心P的轨迹M的方程为x2＝4y.(2)证明：由(1)得x2＝4y，即y＝14x2，则y′＝12x.设点Dx0，14x20，由导数的几何意义知，直线l的斜率为kBC＝12x0.由题意知点A－x0，14x20，设点Cx1，14x21，Bx2，14x22，则kBC＝14x21－14x22x1－x2＝x1＋x24＝12x0，即x1＋x2＝2x0.因为kAC＝14x21－14x20x1＋x0＝x1－x04，kAB＝14x22－14x20x2＋x0＝x2－x04，所以kAC＋kAB＝x1－x04＋x2－x04＝x1＋x2－2x04＝0，即kAC＝－kAB.所以∠BAD＝∠CAD.(3)法一：由点D到AB的距离等于22|AD|，可知∠BAD＝45°.不妨设点C在AD上方，即x2x1，直线AB的方程为y－14x20＝－(x＋x0)．由y－14x20＝－x＋x0，x2＝4y，3解得点B的坐标为x0－4，14x0－2.所以|AB|＝2|(x0－4)－(－x0)|＝22|x0－2|.由(2)知∠CAD＝∠BAD＝45°，同理可得|AC|＝22|x0＋2|.所以△ABC的面积S＝12×22|x0－2|×22|x0＋2|＝4|x20－4|＝20，解得x0＝±3.当x0＝3时，点B的坐标为－1，14，kBC＝32，直线BC的方程为y－14＝32(x＋1)，即6x－4y＋7＝0.当x0＝－3时，点B的坐标为－7，494，kBC＝－32，直线BC的方程为y－494＝－32(x＋7)，即6x＋4y－7＝0.法二：由点D到AB的距离等于22|AD|，可知∠BAD＝45°.由(2)知∠CAD＝∠BAD＝45°，所以∠CAB＝90°，即AC⊥AB.由(2)知kAC＝x1－x04，kAB＝x2－x04，所以kACkAB＝x1－x04×x2－x04＝－1.即(x1－x0)(x2－x0)＝－16.①由(2)知，x1＋x2＝2x0.②不妨设点C在AD上方，即x2x1，由①②解得x1＝x0＋4，x2＝x0－4.所以|AB|＝x2＋x02＋14x22－14x202＝22|x0－2|，同理，|AC|＝22|x0＋2|.以下同解法一．