余弦定理课件(第二课时)(北师大版2.1.2)

余弦定理（第二课时）授课单位：安远县第一中学授课教师：黄新北师大版高中数学必修五第一章[典例]△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，解三角形．[解][法一利用余弦定理]由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得32＝a2＋(33)2－2a×33×cos30°，∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.当a＝3时，A＝30°，C＝120°.当a＝6时，由正弦定理sinA＝asinBb＝6×123＝1.∴A＝90°，∴C＝60°.已知两边及一角解三角形[法二利用正弦定理]由bc，B＝30°，bcsin30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理得，sinC＝csinBb＝33×123＝32，∴C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理a＝b2＋c2＝32＋332＝6.当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，∴a＝3.已知两边及一角解三角形时有两种方法(1)利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长，然后利用正弦定理和三角形内角和定理求出另外两个角．(2)直接用正弦定理，先求角再求边．用方法(2)时要注意解的情况，用方法(1)就避免了取舍解的麻烦．解：因为S△ABC＝12bcsinA＝12×2×22c＝22c＝2，所以c＝22.根据余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝4＋8－2×2×22×22＝4，所以a＝2.[活学活用]在△ABC中，已知角A，B，C所对的三边长分别为a，b，c，若A＝π4，b＝2，S△ABC＝2，求a.已知三边解三角形[典例](1)在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝37，则最大角为________；(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C,2b＝3a，则cosA＝________.[解析](1)∵3743，边c最大，则角C最大，又cosC＝a2＋b2－c22ab＝32＋42－372×3×4＝－12.∴最大角C＝120°.(2)由B＝C,2b＝3a，可得c＝b＝32a.所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝34a2＋34a2－a22×32a×32a＝13.[答案](1)120°(2)13已知三边解三角形的策略(1)已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求解，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解．(2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．[活学活用]1．已知在△ABC中，a∶b∶c＝2∶6∶(3＋1)，求角A的大小．解：∵a∶b∶c＝2∶6∶(3＋1)，令a＝2k，b＝6k，c＝(3＋1)k(k0)，由余弦定理得，cosA＝b2＋c2－a22bc＝22，∵0°A180°，∴A＝45°.2．若△ABC的内角A，B，C满足6sinA＝4sinB＝3sinC，求cosB的值．解：由正弦定理及6sinA＝4sinB＝3sinC，可知6a＝4b＝3c，令6a＝4b＝3c＝12k，k0，则a＝2k，b＝3k，c＝4k.由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝4k2＋16k2－9k22×2k×4k＝1116.判断三角形的形状[典例]在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，确定△ABC的形状．[解]法一：由正弦定理得sinCsinB＝cb，由2cosAsinB＝sinC，有cosA＝sinC2sinB＝c2b.又由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc，所以c2b＝b2＋c2－a22bc，即c2＝b2＋c2－a2，所以a2＝b2，所以a＝b.又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以(a＋b)2－c2＝3ab，所以4b2－c2＝3b2，即b2＝c2.所以b＝c，所以a＝b＝c.所以△ABC为等边三角形．法二：因为A＋B＋C＝180°，所以sinC＝sin(A＋B)，又因为2cosAsinB＝sinC，所以2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sin(A－B)＝0.又因为A与B均为△ABC的内角，所以A＝B.又由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab得(a＋b)2－c2＝3ab，所以a2＋b2－c2＋2ab＝3ab，即a2＋b2－c2＝ab.由余弦定理，得cosC＝a2＋b2－c22ab＝ab2ab＝12，又0°＜C＜180°，所以C＝60°.所以△ABC为等边三角形．判断三角形形状的两条途径(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．[活学活用]在△ABC中，若sinA＋sinB＝sinC·(cosA＋cosB)，试判断△ABC的形状．解：由已知条件，根据正弦定理及余弦定理可得：a＋b＝cb2＋c2－a22bc＋a2＋c2－b22ac，整理得(a＋b)(c2－a2－b2)＝0.因为a＋b≠0，所以a2＋b2＝c2.故△ABC是以C为直角的直角三角形.正、余弦定理的综合应用题点一：利用正、余弦定理解三角形1．在△ABC中，C＝2A，a＋c＝10，cosA＝34，求b.解：由正弦定理得ca＝sinCsinA＝sin2AsinA＝2cosA，∴ca＝32.又a＋c＝10，∴a＝4，c＝6.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得cosA＝b2＋2012b＝34，∴b＝4或b＝5.当b＝4时，∵a＝4，∴A＝B.又C＝2A，且A＋B＋C＝π，∴A＝π4，与已知cosA＝34矛盾，不合题意，舍去．当b＝5时，满足题意，所以b＝5.2．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝79.(1)求a，c的值；(2)求sin(A－B)的值．解：(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)．又b＝2，a＋c＝6，cosB＝79，所以ac＝9，解得a＝3，c＝3.(2)在△ABC中，sinB＝1－cos2B＝429，由正弦定理，得sinA＝asinBb＝223.因为a＝c，所以A为锐角，所以cosA＝1－sin2A＝13.因此sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝10227.题点二：利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式2．在△ABC中，求证a2sin2B＋b2sin2A＝2absinC.证明：法一：(化为角的关系式)a2sin2B＋b2sin2A＝(2R·sinA)2·2sinB·cosB＋(2R·sinB)2·2sinA·cosA＝8R2sinA·sinB(sinAcosB＋cosAsinB)＝8R2sinAsinBsinC＝2·2RsinA·2RsinB·sinC＝2absinC.∴原式得证．法二：(化为边的关系式)左边＝a2·2sinBcosB＋b2·2sinAcosA＝a2·2b2R·a2＋c2－b22ac＋b2·2a2R·b2＋c2－a22bc＝ab2Rc(a2＋c2－b2＋b2＋c2－a2)＝ab2Rc·2c2＝2ab·c2R＝2absinC＝右边，∴原式得证．正弦、余弦定理是解决三角形问题的两个重要工具，这类题目往往结合基本的三角恒等变换，同时注意三角形中的一些重要性质，如内角和为180°、大边对大角等．本节课到此结束谢谢大家！