《大高考》2016届高考复习数学理(全国通用)：第九章 平面解析几何 第五节

考纲考向分析核心要点突破第五节抛物线及其性质考纲考向分析核心要点突破考点梳理考纲速览命题解密热点预测1.抛物线的定义.2.抛物线的标准方程.3.抛物线的几何性质.1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单性质.高考对本节内容主要考查抛物线定义、标准方程、抛物线的焦点弦问题以及与向量知识交汇考查抛物线的定义、方程、性质等.高考试题的考查角度主要有两种：一种是求抛物线的方程；另一种是研究抛物线的性质.高考对本节内容的考查仍将以求抛物线的方程和研究抛物线的性质为主，三种题型均有可能出现，与向量等知识综合命题的趋势较强，备考时应加以关注.考纲考向分析核心要点突破知识点一抛物线的定义与方程1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F(点F不在直线l上)和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.(2)满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线①在平面内；②动点到定点F距离与到定直线l的距离相等；③定点不在定直线上.考纲考向分析核心要点突破2.抛物线的方程在抛物线中，记焦点F到准线l的距离为p，以抛物线的焦点F到准线l垂线段的中点为坐标原点，以抛物线的轴所在直线为坐标轴建立坐标系，可以得到抛物线的四种不同形式的标准方程y2＝±2px，x2＝±2py，其中p0.考纲考向分析核心要点突破知识点二抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝－2py(p0)x2＝2py(p0)图形对称轴x轴x轴y轴y轴顶点坐标O(0，0)O(0，0)O(0，0)O(0，0)焦点坐标F(，0)F(－，0)F(0，－)F(0，)考纲考向分析核心要点突破离心率ee＝1e＝1e＝1e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝p2y＝－p2焦半径公式|PF|＝x0＋p2|PF|＝－x0＋p2|PF|＝－y0＋p2|PF|＝y0＋p2范围x≥0x≤0y≤0y≥0考纲考向分析核心要点突破【名师助学】本部分知识可以归纳为：(1)一个定义：抛物线的定义：d＝|PF|.(2)四种方程：①焦点在x轴上的标准方程y2＝±2px(p0).②焦点在y轴上的标准方程x2＝±2py(p0).(3)六个常见结论：直线AB过抛物线y2＝2px(p0)的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图.①y1y2＝－p2，x1x2＝p24.考纲考向分析核心要点突破②|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥2x1x2＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为2p.③1|AF|＋1|BF|为定值2p.④弦长AB＝2psin2α(α为AB的倾斜角).⑤以AB为直径的圆与准线相切.⑥焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.考纲考向分析核心要点突破方法1抛物线的定义及方程(1)求抛物线方程时，若由已知条件可知所求曲线是抛物线，一般用待定系数法.若由已知条件可知所求曲线的动点的轨迹，一般用轨迹法.(2)待定系数法求抛物线方程时既要定位(即确定抛物线开口方向)，又要定量(即确定参数p的值).解题关键是定位，最好结合图形确定方程适合哪种形式，避免漏解.(3)解决抛物线相关问题时，要善于用定义解题，即把|PF|转化为点P到准线的距离，这种“化斜为直”的转化方法非常有效，要注意领会和运用.考纲考向分析核心要点突破【例1】已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程.解法一设抛物线方程为x2＝－2py(p0)，则焦点为F(0，－p2)，准线方程为y＝p2.∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，∴m2＝6p，m2＋－3＋p22＝5，解得p＝4，m＝±26.∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±26，准线方程为y＝2.考纲考向分析核心要点突破法二如图所示，设抛物线方程为x2＝－2py(p0)，则焦点F0，－p2，准线l：y＝p2，作MN⊥l，垂足为N.则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋p2，∴3＋p2＝5，∴p＝4.∴抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.由m2＝(－8)×(－3)，得m＝±26.考纲考向分析核心要点突破[点评]如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题.考纲考向分析核心要点突破方法2与抛物线有关的综合问题(1)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.(2)求参数范围的方法有两种：①根据题目给出的已知条件列出一个关于参数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式(即为消元)，然后求解不等式；②由题目条件和结论建立目标函数，进而转化为求函数的值域.考纲考向分析核心要点突破【例2】(2011·湖南)已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离与点P与y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的抛迹C方程；(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求AD→·EB→的最小值.[解题指导](1)依题设可知，利用直接法求轨迹方程；(2)先设直线l1的斜率为k，依题设条件可求出AD→·EB→关于k的解析式，利用基本不等式求最值.考纲考向分析核心要点突破解(1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有（x－1）2＋y2－|x|＝1.化简得y2＝2x＋2|x|.当x≥0时，y2＝4x；当x0时，y＝0.所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0(x0).(2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－1).由y＝k（x－1），y2＝4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.考纲考向分析核心要点突破设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1＋x2＝2＋4k2，x1x2＝1.因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－1k.设D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.故AD→·EB→＝(AF→＋FD→)·(EF→＋FB→)＝AF→·EF→＋AF→·FB→＋FD→·EF→＋FD→·FB→＝|AF→|·|FB→|＋|FD→|·|EF→|考纲考向分析核心要点突破＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋＝1＋2＋4k2＋1＋1＋(2＋4k2)＋1＝8＋4k2＋1k2≥8＋4×2k2·1k2＝16.当且仅当k2＝1k2，即k＝±1时，AD→·EB→取最小值16.考纲考向分析核心要点突破[点评]1.设抛物线方程为y2＝2px(p0)，直线Ax＋By＋C＝0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方程my2＋ny＋q＝0.(1)若m≠0，当Δ0时，直线与抛物线有两个公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点；当Δ0时，直线与抛物线没有公共点.(2)若m＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行.2.研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是联立两曲线方程，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用.