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学而思教育·学习改变命运思考成就未来!高考网学而思教育·学习改变命运思考成就未来!高考网高中数学易错题举例解析高中数学中有许多题目,求解的思路不难,但解题时,对某些特殊情形的讨论,却很容易被忽略。也就是在转化过程中,没有注意转化的等价性,会经常出现错误。本文通过几个例子,剖析致错原因,希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。●忽视等价性变形,导致错误。x0y0x+y0xy0,但x1y2与x+y3xy2不等价。【例1】已知f(x)=ax+xb,若,6)2(3,0)1(3ff求)3(f的范围。错误解法由条件得622303baba②①②×2-①156a③①×2-②得32338b④③+④得.343)3(310,34333310fba即错误分析采用这种解法,忽视了这样一个事实:作为满足条件的函数bxaxxf)(,其值是同时受ba和制约的。当a取最大(小)值时,b不一定取最大(小)值,因而整个解题思路是错误的。正确解法由题意有22)2()1(bafbaf,解得:)],2()1(2[32)],1()2(2[31ffbffa).1(95)2(91633)3(ffbaf把)1(f和)2(f的范围代入得.337)3(316f在本题中能够检查出解题思路错误,并给出正确解法,就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识,才能反思性地看问题。第2页(共18页)●忽视隐含条件,导致结果错误。【例2】(1)设、是方程0622kkxx的两个实根,则22)1()1(的最小值是不存在)D(18)C(8)B(449)A(思路分析本例只有一个答案正确,设了3个陷阱,很容易上当。利用一元二次方程根与系数的关系易得:,6,2kk.449)43(42)(22)(1212)1()1(222222k有的学生一看到449,常受选择答案(A)的诱惑,盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别,就能从中选出正确答案。原方程有两个实根、,∴0)6k(4k42.3k2k或当3k时,22)1()1(的最小值是8;当2k时,22)1()1(的最小值是18。这时就可以作出正确选择,只有(B)正确。(2)已知(x+2)2+y24=1,求x2+y2的取值范围。错解由已知得y2=-4x2-16x-12,因此x2+y2=-3x2-16x-12=-3(x+38)2+328,∴当x=-83时,x2+y2有最大值283,即x2+y2的取值范围是(-∞,283]。分析没有注意x的取值范围要受已知条件的限制,丢掉了最小值。学而思教育·学习改变命运思考成就未来!高考网学而思教育·学习改变命运思考成就未来!高考网事实上,由于(x+2)2+y24=1(x+2)2=1-y24≤1-3≤x≤-1,从而当x=-1时x2+y2有最小值1。∴x2+y2的取值范围是[1,283]。注意有界性:偶次方x2≥0,三角函数-1≤sinx≤1,指数函数ax0,圆锥曲线有界性等。●忽视不等式中等号成立的条件,导致结果错误。【例3】已知:a0,b0,a+b=1,求(a+1a)2+(b+1b)2的最小值。错解(a+a1)2+(b+b1)2=a2+b2+21a+21b+4≥2ab+ab2+4≥4abab1+4=8,∴(a+a1)2+(b+b1)2的最小值是8.分析上面的解答中,两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab,第一次等号成立的条件是a=b=21,第二次等号成立的条件是ab=ab1,显然,这两个条件是不能同时成立的。因此,8不是最小值。事实上,原式=a2+b2+21a+21b+4=(a2+b2)+(21a+21b)+4=[(a+b)2-2ab]+[(a1+b1)2-ab2]+4=(1-2ab)(1+221ba)+4,由ab≤(2ba)2=41得:1-2ab≥1-21=21,且221ba≥16,1+221ba≥17,∴原式≥21×17+4=225(当且仅当a=b=21时,等号成立),∴(a+a1)2+(b+b1)2的最小值是252。●不进行分类讨论,导致错误【例4】(1)已知数列na的前n项和12nnS,求.na错误解法.222)12()12(1111nnnnnnnnSSa第4页(共18页)错误分析显然,当1n时,1231111Sa。错误原因:没有注意公式1nnnSSa成立的条件是。因此在运用1nnnSSa时,必须检验1n时的情形。即:),2()1(1NnnSnSann。(2)实数a为何值时,圆012222aaxyx与抛物线xy212有两个公共点。错误解法将圆012222aaxyx与抛物线xy212联立,消去y,得).0(01)212(22xaxax①因为有两个公共点,所以方程①有两个相等正根,得.01021202aa,解之得.817a错误分析(如图2-2-1;2-2-2)显然,当0a时,圆与抛物线有两个公共点。要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根;或有xyO图2-2-1xyO图2-2-2学而思教育·学习改变命运思考成就未来!高考网学而思教育·学习改变命运思考成就未来!高考网两个相等正根。当方程①有一正根、一负根时,得.0102a解之,得.11a因此,当817a或11a时,圆012222aaxyx与抛物线xy212有两个公共点。思考题:实数a为何值时,圆012222aaxyx与抛物线xy212,(1)有一个公共点;(2)有三个公共点;(3)有四个公共点;(4)没有公共点。●以偏概全,导致错误以偏概全是指思考不全面,遗漏特殊情况,致使解答不完全,不能给出问题的全部答案,从而表现出思维的不严密性。【例5】(1)设等比数列na的全n项和为nS.若9632SSS,求数列的公比q.错误解法,2963SSSqqaqqaqqa1)1(21)1(1)1(916131,.012(363)=整理得qqq1q24q,0)1q)(1q2(.01qq20q33336或得方程由。错误分析在错解中,由qqaqqaqqa1)1(21)1(1)1(916131,01qq2(q363)=整理得时,应有1q0a1和。在等比数列中,01a是显然的,但公比q完全可能为1,因此,在解题时应先讨论公比1q的情况,再在1q的情况下,对式子进行整理变形。正确解法若1q,则有.9,6,3191613aSaSaS但01a,即得第6页(共18页),2963SSS与题设矛盾,故1q.又依题意963S2SSqqaqqaqqa1)1(21)1(1)1(91613101qq2(q363)=,即,0)1)(12(33qq因为1q,所以,013q所以.0123q解得.243q说明此题为1996年全国高考文史类数学试题第(21)题,不少考生的解法同错误解法,根据评分标准而痛失2分。(2)求过点)1,0(的直线,使它与抛物线xy22仅有一个交点。错误解法设所求的过点)1,0(的直线为1kxy,则它与抛物线的交点为xykxy212,消去y得.02)1(2xkx整理得.01)22(22xkxk直线与抛物线仅有一个交点,,0解得.21k所求直线为.121xy错误分析此处解法共有三处错误:第一,设所求直线为1kxy时,没有考虑0k与斜率不存在的情形,实际上就是承认了该直线的斜率是存在的,且不为零,这是不严密的。第二,题中要求直线与抛物线只有一个交点,它包含相交和相切两种情况,而上述解法没有考虑相切的情况,只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。第三,将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程,要考虑它的判别式,所以它的二次项系数不能为零,即,0k而上述解法没作考虑,表现出思维不严密。正确解法①当所求直线斜率不存在时,即直线垂直x轴,因为过点)1,0(,所以,0x即y轴,它正好与抛物线xy22相切。②当所求直线斜率为零时,直线为y=1平行x轴,它正好与抛物线xy22只有一个交点。学而思教育·学习改变命运思考成就未来!高考网学而思教育·学习改变命运思考成就未来!高考网③一般地,设所求的过点)1,0(的直线为1kxy)0(k,则xykxy212,.01)22(22xkxk令,0解得k=12,∴所求直线为.121xy综上,满足条件的直线为:.121,0,1xyxy《章节易错训练题》1、已知集合M={直线},N={圆},则M∩N中元素个数是A(集合元素的确定性)(A)0(B)0或1(C)0或2(D)0或1或22、已知A={}x|x2+tx+1=0,若A∩R*=,则实数t集合T=___。2tt(空集)3、如果kx2+2kx-(k+2)0恒成立,则实数k的取值范围是C(等号)(A)-1≤k≤0(B)-1≤k0(C)-1k≤0(D)-1k04、命题:1Ax<3,命题:(2)()Bxxa<0,若A是B的充分不必要条件,则a的取值范围是C(等号)(A)(4,)(B)4,(C)(,4)(D),45、若不等式x2-logax0在(0,12)内恒成立,则实数a的取值范围是A(等号)(A)[116,1)(B)(1,+)(C)(116,1)(D)(12,1)∪(1,2)6、若不等式(-1)na2+(-1)n+1n对于任意正整数n恒成立,则实数a的取值范围是A(等号)(A)[-2,32)(B)(-2,32)(C)[-3,32)(D)(-3,32)7、已知定义在实数集R上的函数()fx满足:(1)1f;当0x时,()0fx;对第8页(共18页)于任意的实数x、y都有()()()fxyfxfy。证明:()fx为奇函数。(特殊与一般关系)8、已知函数f(x)=1-2xx+1,则函数()fx的单调区间是_____。递减区间(-,-1)和(-1,+)(单调性、单调区间)9、函数y=log0.5(x2-1)的单调递增区间是________。[-2,-1)(定义域)10、已知函数f(x)=log2(x+2)x0xx-1x≤0,f(x)的反函数f-1(x)=。2x-2x1xx-10≤x1(漏反函数定义域即原函数值域)11、函数f(x)=log12(x2+ax+2)值域为R,则实数a的取值范围是D(正确使用△≥0和△0)(A)(-22,22)(B)[-22,22](C)(-,-22)∪(22,+)(D)(-,-22]∪[22,+)12、若x≥0,y≥0且x+2y=1,那么2x+3y2的最小值为B(隐含条件)(A)2(B)34(C)23(D)013、函数y=63422xxxx的值域是________。(-∞,52)∪(52,1)∪(1,+∞)(定义域)14、函数y=sinx(1+tanxtanx2)的最小正周期是C(定义域)(A)2(B)(C)2(D)315、已知f(x)是周期为2的奇函数,当x[0,1)时,f(x)=2
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