川师大学物理第十一章-恒定电流的磁场习题解

122第十一章恒定电流的磁场11–1如图11-1所示，几种载流导线在平面内分布，电流均为I，求它们在O点处的磁感应强度B。（1）高为h的等边三角形载流回路在三角形的中心O处的磁感应强度大小为，方向。（2）一根无限长的直导线中间弯成圆心角为120°，半径为R的圆弧形，圆心O点的磁感应强度大小为，方向。解：（1）如图11-2所示，中心O点到每一边的距离为13OPh，BC边上的电流产生的磁场在O处的磁感应强度的大小为012(coscos)4πBCIBd0033(cos30cos150)4π/34πIIhh方向垂直于纸面向外。另外两条边上的电流的磁场在O处的磁感应强度的大小和方向都与BCB相同。因此O处的磁感应强度是三边电流产生的同向磁场的叠加，即003393334π4πBCIIBBhh方向垂直于纸面向外。（2）图11-1（b）中点O的磁感强度是由ab，bcd，de三段载流导线在O点产生的磁感强度B1，B2和B3的矢量叠加。由载流直导线的磁感强度一般公式012(coscos)4πIBd可得载流直线段ab，de在圆心O处产生的磁感强度B1，B3的大小分别为01(cos0cos30)4cos60)IBR03(1)2π2IR031(cos150cos180)4πcos60IBBR03(1)2π2IRIOPABC21II图11–2图11–1IAOBCII（a）AO120ºIIBCDER（b）123方向垂直纸面向里。半径为R，圆心角的载流圆弧在圆心处产生的磁感强度的大小为04πIBR圆弧bcd占圆的13，所以它在圆心O处产生的磁感强度B2的大小为00022π34π4π6IIIBRRR方向垂直纸面向里。因此整个导线在O处产生的总磁感强度大小为000012333(1)(1)0.212π22π26IIIIBBBBRRRR方向垂直纸面向里。11–2载流导线形状如图所示（图中直线部分导线延伸到无穷远），求点O的磁感强度B。图（a）中，Bo=。图（b）中，Bo=。图（c）中，Bo=。解：载流圆弧导线在圆心O处激发的磁感强度大小为04πIBR，式中为载流圆弧导线所张的圆心角，R为圆弧的半径，I为所载电流强度。半无限长载流导线在圆心O处激发的磁感强度大小为04πIBR，磁感强度的方向依照右手定则确定。图11–3（a）中O处的磁感应强度BO可视为由两段半无限长载流导线及载流半圆弧激发的磁场在空间点O的叠加，根据磁场的叠加原理，对于在图（a），有000004π44π42πoIIIIIBRRRRRjkjkj同样的方法可得对于图（b），有000001(1)4π44π4π4πoIIIIIBRRRRRjkkkj对于图（c），有00034π84πoIIIBRRRjki图11–3xyzORII（a）xyzORII（b）yxzORII（c）12411–3已知磁感应强度B=2.0Wb/m2的均匀磁场，方向沿x轴正向，如图11-4所示，则通过abcd面的磁通量为，通过befc面的磁通量为，通过aefd面的磁通量为。解：匀强磁场B对S的磁通量为dcosBSSBS，设各平面S的法线向外，则通过abcd面的磁通量为cosπ2.00.40.3abcdBSBSWb=0.24Wb通过befc面的磁通量为πcos02befcBS通过aefd面的磁通量为4cos2.00.50.35aefdBSWb=0.24Wb11–4磁场中某点处的磁感应强度B=0.40i－0.20j（T），一电子以速度v=0.50×106i+1.0×106j（m/s）通过该点，则作用于该电子上的磁场力F=。解：电子所受的磁场力为F=e(v×B)=－1.6×10–19×（0.50×106i+1.0×106j）×(0.40i－0.20j)=81014k（N）11–5如图11-5所示，真空中有两圆形电流I1和I2以及三个环路L1L2L3，则安培环路定理的表达式为lBd1L=，lBd2L=，lBd3L=。解：由安培环路定理可得101dLIBl=；2012d()LIIBl=；3d0LBl=。11–6一通有电流I的导线，弯成如图11-6所示的形状，放在磁感应强度为B的均匀磁场中，B的方向垂直纸面向里，则此导线受到的安培力大小为，方向为。解：建立如图11-7所示坐标系，导线可看成两段直导线和一段圆弧三部分组成，两段直导线所受安培力大小相等，方向相反，两力的矢量和叠加后为零。在半圆弧导线上任取一图11–5I1I2L1L2L3L2图11–7IIIyxBdF1dF1xdF1yRdLOyxOBzfbcad30cm30cm40cm50cme图11–4图11–6OBIILRI125电流元Idl，所受安培力大小d=ddsin90dIIlBIBlFlB，方向沿半圆的半径向外。将dF分解为dF（垂直于x轴）和dF//（平行于x轴），由对称性可知，半圆弧导线所受安培力的水平分量相互抵消为零，即////d0FF其垂直分量π0ddsindsinsind2FFFIBlBIRBIR方向沿y轴正方向。因此，整段导线所受安培力2F=FBIR。方向沿y轴正方向。11–7图11-8中为三种不同的磁介质的B～H关系曲线，其中虚线表示的是B=0H的关系，说明a、b、c各代表哪一类磁介质的B～H关系曲线：a代表的B～H关系曲线；b代表的B～H关系曲线；c代表的B～H关系曲线。答：对各向同性的均匀磁介质，顺磁质或抗磁质有，B=0rH，B与H成正比关系，r为常数，因此曲线bc代表顺磁质或抗磁质。又因为顺磁质的r1，抗磁质的r1，所以顺磁质的曲线斜率较大，故可进一步判断曲线b代表顺磁质，曲线c代表抗磁质，曲线a中B与H成非线性关系，表明该磁介质的r随H发生变化，不是常数，这是铁磁质的性质，所以曲线a代表铁磁质。11–8一无限长圆柱体均匀通有电流I，圆柱体周围充满均匀抗磁质，与圆柱体表面相邻的介质表面上的磁化电流大小为I´，方向与I的方向相反。沿图11-9中所示闭合回路，则三个线积分的值分别为dlHl，dlBl，dlMl。解：由H的安培环路定理，得dlIHl。由B的安培环路定理，得0d()lIIBl。由关系式0BHM及上述二式，得dlIMl。11–9半径为R1的圆形载流线圈与边长为R2的正方形载流线圈，通有相同的电流I，若两线圈中心O1与O2的磁感应强度大小相同，则半径R1与边长R2之比为[]。A．2π:8B．2π:4C．2π:2D．1:1解：设两载流线圈中电流I的方向均为顺时针方向，半径为R1的圆形载流线圈在中心O1点产生的磁感应强度大小为0112IBR方向垂直纸面向里边长为R2的正方形载流线圈在中心O2点产生的磁感应强度是各边在该点产生的磁感应强度的叠加，由于各段导线产生的磁感应强度方向相同，均为垂直纸面向里，所以O2点的II´I´l图11–9BHOabc题11–8图126磁感应强度大小是各边在该点产生的磁感应强度大小的代数和，有0022222(cos45cos135)44π/2πIIBRR由于B1=B2，即0012222πIIRR因此122π8RR因此，正确答案为（A）。11–10如图11-10所示，在一磁感应强度为B的均匀磁场中，有一与B垂直的半径为R的圆环，则穿过以该圆环为边界的任意两曲面S1，S2的磁通量1，2为[]。A．R2B，R2BB．R2B，R2BC．R2B，R2BD．R2B，R2B解：半径为R的圆分别与曲面S1，S2构成一闭合曲面1，2，规定曲面外法向为曲面面元的正方向，根据磁场的高斯定理，磁感线是闭合曲线，闭合曲面的磁通量为零，则对闭合曲面1有211dddπd0RSRBBSBSBSBS由此可得211dπRBBS同理，对闭合曲面2有222dddπd0RSRBBSBSBSBS由此可得222dπRBBS因此，正确答案为（C）。11–11如图11-11所示，有两根无限长直载流导线平行放置，电流分别为I1和I2，L是空间一闭曲线，I1在L内，I2在L外，P是L上的一点，今将I2在L外向I1移近时，则有[]。A．lBdL与BP同时改变B．lBdL与BP都不改变C．lBdL不变，BP改变D．lBdL改变，BP不变解：由真空中的安培环路定理，LI0dlB，I表示穿过回路的电流的代数和，积分回路外的电流I2不会影响磁感应强度沿回路的积分，但会改变回路上各点的磁场分布，则BP改变。因而（C）正确。11–12对于介质中的安培环路定理LIlHd，在下面说法中正确的是[]。PI2I1L图11–11BS1S2R图11–10127A．H只是穿过闭合环路的电流所激发，与环路外的电流无关B．I是环路内、外电流的代数和C．安培环路定律只在具有高度对称的磁场中才成立D．只有磁场分布具有高度对称性时,才能用它直接计算磁场强度的大小解：介质中的安培环路定理LIlHd在恒定磁场的任何介质中都是成立的，无论磁场是否具有高度的对称性，只是在磁场有高度对称性时，我们可以选择适当的回路，使得待求场点的磁场强度与回路积分无关，其它的线积分为零或与待求场点相同，被积函数H可从积分号内提出到积分号外，从而可计算出待求场点的磁场强度。因此LIlHd用于求解磁场强度具有高度对称性时的磁场强度，其它情况不能用它来求磁场，但并不表示它不成立。要注意的是，磁场强度和磁场强度环量是两个不同的物理量，式中I是环路内电流的代数。定理表示磁场强度的环量等于穿过环路的电流的代数和，即磁场强度的环量只与穿过环路的电流有关，与环外电流无关，并不是磁场强度只与穿过环路的电流有关，空间任一点的磁场是环内和环外电流共同激发的。因此（A）、（B）和（C）都是错误的。答案应选（D）。11–13一质量为m，带电量为q的粒子在均匀磁场中运动，下列说法正确的是：[]A．速度相同，电量分别为+q，q的两个粒子，它们所受磁场力的方向相反，大小相等B．只要速率相同，所受的洛伦兹力就一定相同C．该带电粒子，受洛伦兹力的作用，其动能和动量都不变D．洛伦兹力总是垂直于速度方向，因此带电粒子运动的轨迹必定为一圆形解：（1）正确。因为带正电粒子所受洛伦兹力F=qv×B，带负电粒子所受洛伦兹力F´=qv×B，所以F=F´。（2）错误。带电粒子所受洛伦兹力的大小F=qvBsin，它不仅与速度的大小有关，还与速度方向有关；（3）错误。带电粒子受洛伦兹力的作用，速度的大小不改变，但速度方向要改变，所以其动能不变，但动量要改变。（4）错误。在均匀磁场中，带电粒子的运动轨迹取决于粒子初速度0v和B的夹角，当=0或=时，带电粒子不受洛伦兹力，其轨迹是直线，当π2时，带电粒子作圆周运动，其运动轨迹是圆形，当0v和B的夹角任意时，带电粒子的运动轨迹是螺旋线。综上所述，正确答案应选（A）。11–14通有电流I的正方形线圈MNOP，边长为a（如图11-12），放置在均匀磁场中，已知磁感应强度B沿z轴方向，则线圈所受的磁力矩T为[]。A．Ia2B，沿y负方向B．Ia2B/2，沿z方向C．Ia2B，沿y方向D．Ia2B/2，沿y方向解：线圈所受的磁力矩为nNISTeB，其大小为图11–12xyzBOMNP30°12821sin302TNISBIaB，方向沿y方向。故选（D）。11–15半径为R的圆柱形无限长载流直导体置于均匀无限大磁介质中，若导体中流过的恒定电流为I，磁介质的相对磁导率为r（r1），则磁介质内的磁化强度为[]。A