流体力学-流体静力学

流体静力学INDEX■流体静压强及其特征■流体平衡微分方程■重力作用下的液体压强分布规律■流体的相对平衡■液体作用在平面上的总压力解析法图解法■液体作用在曲面上的总压力二维曲面流体静压强及其特征“静”——绝对静止、相对静止APpA00lim1.静压强定义平衡状态2.静压强特征a.静压强方向沿作用面的内法线方向N/m2（Pa）反证法0F0)cos(0xnxxFxnPPF质量力xFyFzF表面力证明：取微小四面体O-ABCxPyPzPnPb.任一点静压强的大小与作用面的方位无关06121dxdydzX)xncos(ABCpdydzpnxdydz21031dxXppnx0dxnxppnzyxpppp)z,y,x(fp与方位无关与位置有关dzzpdyypdxxpdpp的全微分流体平衡微分方程左P右PdxdydzXFx1.流体平衡微分方程由泰勒展开，取前两项：质量力：0F0xFPP右左dydzdxxpp21dydzdxxpp21用dx、dy、dz除以上式，并化简得同理01xpX01ypY01zpZ——欧拉平衡微分方程（1755）01pf（1）（2）（3）02121dxdydzXdydzdxxppdydzdxxpp2.力的势函数(4)对（1）、（2）、（3）式坐标交错求偏导，整理得dpdzzpdyypdxxpZdzYdyXdx）（yZzYxYyXzXxZ——力作功与路径无关的充分必要条件必存在势函数U，力是有势力将（1）、（2）、（3）式分别乘以dx、dy、dz，并相加dzzUdyyUdxxUdU（4）式可写为：dpdUdzzUdyyUdxxUXxUYyUZzU——力与势函数的关系——将上式积分，可得流体静压强分布规律3.等压面：dp=0（4）式可写为：0ZdzYdyXdxldfldf0等压面性质：•等压面就是等势面•等压面与质量力垂直——广义平衡下的等压面方程gZgdzZdzdpcgzp积分写成水头形式：1.压强分布规律单位m——单位重量能量czgpzgp2211重力作用下的液体压强分布规律或写成cgzpgzp2211单位Pa物理意义：能量守恒p/ρg——压强水头z——位置水头压强分布规律的最常用公式：ghpzzgpp000——帕斯卡原理（压强的传递性）00gzpgzp适用范围：1.重力场、不可压缩的流体2.同种、连续、静止2.压强的表示方法a.绝对压强pab以绝对真空为零点压强pa——当地大气压强maaabppghpppaAhb.相对压强（计算压强、表压）pmc.真空度pv以当地大气压强为零点压强pghpppaabmabavppp注意：pv表示绝对压强小于当地大气压强而形成真空的程度，读正值！pv3.压强单位工程大气压（at）=0.9807×105Pa=735.5mmHg=10mH2O=1kg/cm2（每平方厘米千克力，简读公斤）标准大气压（atm）=1.013×105Pa=760mmHg=10.33mH2O换算：1kPa=103Pa1bar=105Pa4.测压计例求pA（A处是水，密度为ρ，测压计内是密度为ρ’的水银）解：作等压面ghgapA'gahpA'例求pA（A处是密度为ρ的空气，测压计内是密度为ρ’的水）解：ghpA'气柱高度不计一端与测点相连，一端与大气相连5.压差计例求Δp（若管内是水，密度为ρ，压差计内是密度为ρ’的水银）解：作等压面hgphgp'21hgppp'21Δh12ρρ’两端分别与测点相连例求Δp（管内是密度为ρ的空气，压差计内是密度为ρ’的水）解：hgpp'21hgppp'21Δh12ρ’6.微压计sin1glghpnhlsin1（放大倍数）ZdzYdyXdxdpaXapp,z,x001.等加速直线运动流体的平衡在自由面：相对压强：边界条件：等压面是倾斜平面xzppgdzadxdpaba00gzaxppaabgzaxpxgaz0pogaxz流体的相对平衡a重力（－g）惯性力（－a）由gZ,Y0（惯性力）例一洒水车以等加速a=0.98m/s2在平地行驶，静止时，B点处水深1m，距o点水平距1.5m，求运动时B点的水静压强解：gzaxpa=0.98m/s2，x=－1.5m，z=－1m，代入OmH.gp2151注意坐标的正负号aoBzx例一盛有液体的容器，沿与水平面成α角的斜坡以等加速度a向下运动，容器内的液体在图示的新的状态下达到平衡，液体质点间不存在相对运动，求液体的压强分布规律解：cosaXgaZsindzgadxadpzxp000sincosgzazaxpsincos注意：坐标的方向及原点的位置ZdzXdxdp2.匀速圆周运动流体的平衡zrogω2rZdzRdrdprR2gZ边界条件：000app,z,rrzpgdzrdrdp0020gzrp222在自由面：旋转抛物面grz2220p注意：坐标原点在旋转后自由面的最底点由（惯性力）相对平衡实验演示应用（1）：离心铸造机中心开孔ω例浇铸生铁车轮的砂型，已知h=180mm，D=600mm，铁水密度ρ=7000kg/m3，求M点的压强；为使铸件密实，使砂型以n=600r/min的速度旋转，则M点的压强是多少？解：PaghpM41024.1当砂型旋转gzrpMM2/22srn/202压强增大约100倍ghrM2/22Pa61025.1应用（2）：离心泵（边缘开口）zo边界条件：当r=R，p=pa=0rRzpgdzrdrdp020gzRrp222222在r=0处，压力最低真空抽吸作用ωgzRp222应用（3）：清除杂质（容器敞开）杂质m1，流体m杂质受力：ωmg（浮力）m1g（自重）m1ω2r（惯性离心力）mω2r（向心力）m1=m不可清除m1m斜上m1m斜下例1一半径为R的圆柱形容器中盛满水，然后用螺栓连接的盖板封闭，盖板中心开有一小孔，当容器以ω转动时，求作用于盖板上螺栓的拉力解：盖板任一点承受的压强为222rp任一微小圆环受力rdrppdAdP2整个盖板受力（即螺栓承受的拉力）gVgRgRrdrrdPPR44224242022注意：就是压力体的体积VgR442例2在D=30cm，高H=50cm的圆柱形容器中盛水，h=30cm，当容器绕中心轴等角速度转动时，求使水恰好上升到H时的转数解：O点的位置gRz.zhH'z22022由上题可知zRgR2424Hhωoz’zmzgRz2.02'422mgRzz4.022'22s/rad.972rpmn178602结论：未转动时的水位在转动时最高水位与最低水位的正中间Hhωoz’z解得：例3一圆筒D=0.6m，h=0.8m，盛满水，现以n=60rpm转动，求筒内溢出的水量解：2602n180222.gRz利用例2结论溢出的水量体积320256021m.RzVrad/smz1.解析法a.总压力流体作用在平面上的总压力解析法图解法pdAdPghdAdAgysinAydAgdPPsinAyydAcA——受压面A对x轴的面积一次矩（面积矩）注意：h与y的区别ApAghAygcccsinb.压力中心dPydM力矩合成DPydPydMMDCAyghghdAyDCAyydAyysinsinDCAyydAy2AyIAydAyyCxCD2dAyIx2——受压面A对ox轴的面积二次矩（惯性矩）平行轴定理AyIICCx2AyAyIyCCCD2CCCCyAyIy常见图形的yC和IC图形名称矩形三角形CyCI2h312hbh32336hb梯形圆半圆babah23bababah2234362d464dd32421152649d例：封闭容器水面的绝对压强P0=137.37kPa，容器左侧开2×2m的方形孔，覆以盖板AB，当大气压Pa=98.07kPa时，求作用于此盖板的水静压力及作用点解：设想打开封闭容器液面上升高度为mgPPa4807.907.9837.137060°p01m2mo4mymyC6.61160sin44333.13412mhbICCCCCDymAyIyy65.605.06.646.633.16.6mhC73.560sin114kNAghPC22560°o4myCD2.图解法依据ghpp0PApAghhAgbhghSbVCC2121作用点：V的形心处——2h/3p0p0或ghp作压强分布图用分割法求作用点：对AA’求矩矩形面积三角形面积梯形面积llyD2132点算起从AyD例：T为何值，才可将闸门打开？（1）用分割法求P大小，作用点为D；（2）对A点求矩TTlADPlGcoscos2θGlATPD或AhJAyJycccDsin（从形心C处算起）C流体作用在曲面上的总压力二维曲面1.总压力的大小和方向（1）水平方向的作用力zxghdAghdAdPdPcoscoszCzCAzxxApAghhdAgdPPz大小、作用点与作用在平面上的压力相同PxAxAz（2）垂直方向的作用力xzghdAghdAdPdPsinsingVhdAgdPPzAxzz作用点通过压力体体积的形心V——压力体体积ρgV——压力体重量AxAzPz（3）合作用力大小22yxPPP（4）合作用力方向与水平面夹角xzPPtgθPPxPz实压力体与虚压力体实压力体虚压力体2.压力体的作法压力体由以下各面围成：（a）曲面本身；（b）通过曲面周界的铅垂面；（c）自由液面或者延续面与深度无关——浮力p压力体水平压力