高教版中职数学(基础模块)下册7.1《平面向量的概念及线性运算》1

平面向量的概念及线性运算——平面向量的概念唉,哪儿去了?嘻嘻!大笨猫!AB引入不能，因为方向错了。BA位移不同•老鼠由A向东北方向以6m/s的速度逃窜,而猫由B向东南方向10m/s的速度追.问猫能否抓到老鼠？为什么？重力、浮力、弹力有大小、有方向许多物理量都有这样的性质．．．抽象概括向量（一）向量的概念定义：既有大小又有方向的量叫向量。2.向量与数量的区别：①数量只有大小②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小的，因此向量不能比较大小。注：1.向量两要素：大小，方向，可以比较大小。注：物理中向量与数量分别叫做矢量、标量(二）向量的表示方法1、几何表示法：用有向线段表示。A(起点）B(终点）有向线段三要素：起点、方向、长度a2、小写字母a,b,c…印刷用黑体表示，手写时写成此易错也，望记住2、向量的字母表示：注：由起点指向终点；AB为终点的向量表示为为起点，以示：）、用两个大写字母表（BA1（三）向量的模注：向量的模是可以比较大小的记作：||AB无意义但EFCD,|EF||CD|如：向量的模AB(或长度)AB就是向量的大小1.零向量:2.单位向量:长度（模）为1个单位长度的向量长度（模）为0的向量，记作0规定：方向是任意的。0（四）两个特殊向量1.相等向量：长度相等且方向相同的向量。abca=b=cA1B1=A2B2=A3B3=A4B4A1B1A2B2A3B3A4B4（五）.向量间的关系：注：1.若向量相等，则记为；2.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。,abab3、向量可以自由平移规定：0=0规定：零向量与任一向量平行记作：////abcabc2.平行向量：方向或的向量叫平行向量如下图：平行cba,,相同相反任一组平行向量都可移到同一条直线上,平行向量也叫共线向量0//a记作:3.向量的负向量：长度相等且方向相反的向量。ab向量的负向量，记作－．aa规定：零向量的负向量仍为零向量．与—互为相反向量aaaa--45,ABABAB例2：在方格纸中有一个向量以图中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有多少个？与长度相等的共线向量有多少个？(AB除外）AB相等的有7个长度相等的有15个.试一试例1．判断下列结论是否正确。•(1)平行向量方向一定相同；()•(2)不相等向量一定不平行；()•(3)与零向量相等的向量是零向量；()•(4)单位向量是相等向量；()•(5)共线向量一定在一条直线上；()•(6)相等向量一定是平行向量;()××√××√【例2】:如图，设O是正六边形的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量，负向量。OAOBOCBACDEFOOCBACDEFOOACBDOEODCOBFOEDABOC解：OFDEBAOC下面几个命题：（3）若|a|=|b|，则a=b（2）若|a|=0，则a=0（1）若a=b，b=c，则a=c。A．0B.1C.2D.3其中正确的个数是()（5）向量AB∥CD，则A、B、C、D四点必在一直线上；（4）两个向量a=ba∥b|a|=|b|平面向量的概念及线性运算——平面向量的加法运算台北香港上海从运动的合成看向量运算•在大陆和台湾没有直航之前，台湾同胞要到上海探亲，得乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，那么这两次位移之和是什么？ABCABBCAC+=ACABBC位移叫做位移与位移的和，记作FEOOEF1+F2=F从力的合成看向量运算•橡皮条在力F1与F2的作用下，从E点伸长到了O点；同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.•问:合力F与力F1、F2有怎样的关系？FF是以F1与F2为邻边所形成的平行四边形的对角线ABC向量的加法运算•运动的合成•力的合成ABBCAC+=F1F2FF1+F2=F数的加法启发我们，从运算的角度看，AC可以认为是AB与BC的和，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的合成可以看作向量的加法。向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量的加法法则：三角形法则、平行四边形法则abo·ABC力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型baba求作向量已知向量,,CA·BbaACbBCaABA则向量作在平面内任取一点作法：,..21向量加法法则ababbaba位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型baOCbOBaOAO则向量作在平面内任取一点作法：,..21向量加法法则总结与拓展•向量加法的三角形法则:–1.将向量平移使得它们首尾相连–2.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾•向量加法的平行四边形法则:–1.将向量平移到同一起点–2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的对角线•三角形法则推广为多边形法则：多个向量相加，如：ABBCCDDEEFAF，这时也必须“首尾相连”.探究一：当向量共线时，如何相加？ACab=+ABC(1)同向(2)反向ababABCACab=+aaa00规定：探究二：向量的加法是否具备交换律和结合律？•数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R，有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)•向量的加法具备吗？你能否画图解释？abba()abcabc(+)+向量加法满足交换律和结合律：以上两个运算律可以推广到任意多个向量.练习：1、化简________)1(BCCDAB________)2(CBACBNMA(3)_____ABBDCADC.,)5()4(,,0)3(;0)2()1(._________,2的方向相同与则反向，且，若向量相等；与均为非零向量，则，若；为一个三角形的三顶点，则若中，必有△之一的方向相同；，必和的方向么的方向相同或相反，那与若非零向量正确的个数有、下列命题中ababababababaCBACABCABCABCABABCbababa××××√例3一艘船以12km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5km/h，求该船的实际航行速度．ABDC速度，由向量加法的平行四边形法则，AD是船的实际航行速度，显然ACAB解如图所示，表示船速，为水流22ADABAC22125=13．512tanCAD利用计算器求得6723CAD即船的实际航行速度大小是13km/h，其方向与河岸线的夹角约6723．例4用两条同样的绳子挂一个物体,设物体的重力为k，两条，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力1f2f与的大小．绳子的方向与垂线的夹角为f1f2k1212cos，fffk12cos．kf解利用平行四边形法则，可以得到所以根据例题4的分析，判断在单杠上悬挂身体时，两臂成什么角度时，双臂受力最小？平面向量的概念及线性运算——平面向量的减法运算动脑思考探索新知与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差．即a−b=a＋(−b)．()=OAOBOAOBOABOBOOABA．即OAOBBA．观察图可以得到：起点相同的个向量，其起点是减向量b的终点，两个向量a、b，其差a−b仍然是一终点是被减向量a的终点．aAa－bBbO设a，b，则OAOB向量减法法则•要点:1.平移到同一起点；2.指向被减向量.abb)(babaabABOababbaabABOab.,,,baBAbOBaOAO则作点作法：在平面内任取一探究三：当向量共线时，如何相减？(1)同向(2)反向bababababa探究四：平行四边形法则的两条对角线ADCBabbaABADBDbaACOMBOMBABBDACCDABDCADAB)3()2(;)1(.化简：平面向量的概念及线性运算——平面向量的数乘运算aaaABCOaaaa3BCABOAOC记作aaaaMNQMPQPN3记作)()()(a-a-a-aPQMNaaaa333的方向相同与aaaa333的方向相反与义吗？你能说明它们的几何意和作出已知非零向量),()()(,aaaaaaa向量的数乘运算的定义.00,00000)2(;)1(.aaaaaaaaa时，当的方向相反；的方向与时，当的方向相同；的方向与时，当如下：，它的长度和方向规定记作运算叫向量的数乘的积是一个向量，这种与向量实数你能说出向量数乘运算的几何意义吗？.)()(的方向量的符号表示是否改变向伸长或缩短；的长度可视为将向量几何意义：aaa21数乘向量运算律•向量的加、减、数乘运算统称向量的线性运算..)()()(律推广出数乘向量的运算呢？与有什么关系？和思考：babaaa22226231.)()(;))((;)()()(babaaaaaa321是实数，，bababa212121),,,（恒有，，以及任意实数对于任意向量第一分配律第二分配律数乘结合律1.如何证明？2.如何解释运算律的几何意义，尤其是(3)？线性运算练习.,3,25,.4,0)(4)2(2)(3.323231,2,232)23()32)(3(;)(2)(3)2(;4)3)(1(.1yxbyxayxbaxbaxaxaxabbabajibjiacbacbaababaa，求且已知、求已知、求、设向量计算：∥．abab向量的数乘运算的定义可以得到，对于非零向量a、b，当时，有0AB例5在平行四边形ABCD中，O为两对角线交点如图，＝a，AOOD．AD＝b，试用a,b表示向量、解AC＝a＋b，BD＝b−a，因为O分别为AC，BD的中点，所以1122AOAC1212（a＋b）＝a＋b，1122ODBD1212（b−a）＝a＋b，1212a＋b和1212a＋b都叫做向量a，b的线性组合，或者说，AOOD、可以用向量a，b线性表示．，一般地，a＋b叫做a,b的一个线性组合（其中均为实数），如果l＝a＋b，则称l可以用a，b线性表示．自我反思目标检测向量概念及表示：向量间的关系：向量的线性运算：