2014年数学(人教a版)必修5配套课件：3.3.2 简单的线性规划问题(一)(数学备课大师网 为您

3.3.2简单的线性规划问题(一)【学习目标】1.了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.掌握线性规划问题的图解法，会用图解法求目标函数的最大值、最小值.3.训练数形结合、化归等常用思想，培养和发展数学应用意识.名称意义约束条件关于变量x，y的不等式(方程)组线性约束条件关于x，y的一次不等式(或方程)组成的平面区域目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足______________的解(x，y)可行域由所有________组成的集合最优解使目标函数取得_________或_________的可行解线性规划问题在____________条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题线性规划相关概念线性约束条件可行解最大值最小值线性约束y的值，使z＝x＋3y取到最大值或最小值，其中__________为可行域，___________为线性目标函数.z＝x＋3y练习1：已知x，y满足约束条件x－y≥6，2x＋y＜9，x≥1，分别确定x，x－y≥6，2x＋y＜9，x≥1图3-3-2线性规划问题可行解可行域最优解练习2：已知实数x，y满足x≥0，y≤1，x－2y＋1≤0，求2x＋y的最大值，这个问题就是_____________.满足不等式组的解(x，y)叫做____________，如12，1是一组可行解，由所有可行解组成的集合即不等式组所表示的平面区域(如图3­3­2中阴影部分)是________.易知，当x＝1，y＝1时，目标函数z＝2x＋y取最大值3，故(1,1)是这个规划问题的________.【问题探究】1.z＝x2＋y2－3是线性目标函数吗？答案：不是，因为x，y的系数是2.2.线性目标函数的最优解只有唯一一个吗？答案：不是，最优解可能有无数个.题型1线性目标函数的最值最大值和最小值.【例1】已知变量x，y满足x－4y≤－3，3x＋5y≤25，x≥1，求z＝2x＋y思维突破：把z看成直线在y轴上的截距，先画出可行域，再求z的最值.解：作出不等式组所表示的可行域，如图D11.图D11设直线l0：2x＋y＝0，直线l：2x＋y＝z，则z的几何意义是直线y＝－2x＋z在y轴上的截距.显然，当直线越往上移动时，对应在y轴上的截距越大，即z越大；当直线越往下移动时，对应在y轴上的截距越小，即z越小.本题中，z＝2x＋y变形为y＝－2x＋z，z代表直线在y轴上的截距，所以越向上平移，z越大，反之则越小，解决这种题目，首先要搞清z的几何意义.一般地，对目标函数z＝ax＋by，若b0，则纵截距与z同号，因此，纵截距最大时，z也最大；若b0，则纵截距与z异号，因此，纵截距最大时，z反而最小.作一组与直线l0平行的直线系l，上下平移，可得：当直线l移动到直线l2时，即过点A(5,2)时，zmax＝2×5＋2＝12；当直线l移动到直线l1时，即过点B(1,1)时，zmin＝2×1＋1＝3.【变式与拓展】则z＝x＋y的最大值是_________.1.(2013年广东)已知变量x，y满足约束条件x－y＋3≥0，－1≤x≤1，y≥1，解析：画出可行域如图D13所示的阴影部分，线性目标函数z＝x＋y在点C处取得最大值，易求得点C(1,4)，故zmax＝5.图D13答案：5题型2已知线性目标函数的最值求参数＝x－y的最小值为－1，那么实数m＝()A.7C.4B.5D.3【例2】已知实数x，y满足y≥1，y≤2x－1，x＋y≤m，如果目标函数z思维突破：本题属逆向思维类型题，使用数形结合的方法.画出x，y满足的可行域，可得直线y＝2x－1与直线x＋y＝m的交点使目标函数z＝x－y取得最小值.答案：B解析：y＝2x－1，x＋y＝m，解得x＝m＋13，y＝2m－13，代入x－y＝－1，得m＋13－2m－13＝－1⇒m＝5.【变式与拓展】2.在如图3-3-3所示的可行域内，目标函数z＝x＋ay取得)D最大值的最优解有无数个，则a的一个可能值是(图3-3-3A.－3B.3C.－1D.1解析：分析知“目标函数与直线BC重合时z最大”，故－1a＝1－25－4，a＝1.D解析：画图后知：当x＝3时z＝2x＋4y取最小值－6.3.已知x，y满足x－y＋5≥0，x≤3，x＋y＋k≥0，且z＝2x＋4y的最小值为－6，则常数k＝()A.2B.9C.310D.0－3x－2y的最值.易错分析：直线在y轴上的截距与目标函数z＝－3x－2y取值的关系上出错.直线ax＋by＝z往右(或往左)平移时，z随之增大(或减小)，只有当a0时，才能成立.当a0时，可利用换元将a变为大于0.【例3】若x，y满足不等式组3≤x≤10，y≥52，9≤x＋y≤14，求z＝解：作出约束条件表示的可行域，如图D12中的阴影部分，则点A(10,4)，B(3,6).令p＝3x＋2y，作直线l：3x＋2y＝0，图D12当直线l右移过点B(3,6)时，pmin＝21；当直线l继续右移过点A(10,4)时，pmax＝38.又z＝－p，故zmax＝－21，zmin＝－38.[方法·规律·小结]解简单线性规划问题的基本步骤：(1)画图：画出线性约束条件所表示的平面区域；(2)定线：令z＝0，得到一过原点的直线；(3)平移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且截距最大或最小的直线；(4)求最优解；(5)求最值.