第四章能量法2 (1)

kkVP应变能原理或卡氏第一定理，它代表了结构力的平衡条件，在结构分析中可用来建立位移法方程式表明结构应变能对某一广义位移的偏导数等于此位移相对应的广义力iiVP(i=1,2,3,…)在线性体系中，上式是位移法的正则方程式若结构中仅发生虚位移δ∆k，而其余位移保持不变，则1122331230VVVPPP4.4.3单位位移法可用于求结构在载荷作用下某个位置处的力根据所求位置处的力Fi，虚设与之相对应的单位位移δ∆i=1，其它支座位移均为零T{}{}diiiPT01{}{}diP真实应力单位位移引起的虚应变等式为用能量表达的静力方程；等式右边表达了真实应力在虚应变上所作的功，即结构获得的虚应变能广泛用于求位移法方程中的刚度系数，单元刚度矩阵等虚位移原理是用能量的观点来表达平衡条件的，可用来判别变形形态是否满足平衡条件满足变形协调条件满足平衡条件4.4.4势(位)能驻值原理的近似解法——李兹法对不能精确求解或求解困难的结构进行近似分析变形体在外力作用下只要满足可能位移条件的连续函数都可用来表达变形形态在无限多的可能位移中找出所需要的正确解答在有限个可能变形中挑选出较好的或者是最佳的近似解答复杂问题求得正确的解答很困难李兹法或雷利—李兹法(Raylegh-Ritzmethod)李兹法的解题方法：0ia取系统位移作为未知数，利用位能驻值原理δΠ=0，把变分问题看作是求一个包含有限多个变量的普通函数的极值问题iiia李兹法建立在保守系统中应用虚功原理的变分方程基础上，是变分法中的直接法(1)选取结构可能位移的级数表达式(2)计算由φi(x)表示的V和U满足位移边界条件的连续函数，称为形状函数或基函数待定系数(3)代入Π=V-U，使Π变为含有参数a1，a2，…的多元函数(4)由位能驻值原理1231230aaaaaaai(i=l，2，…)()()iiixax()()iiixax变形的正确解答；为获得弹性体的精确解，级数应取无限项在实际求解中级数只能取有限项，相当于在体系中引入了某些约束——增加了体系的能量，所以得到的是近似解基函数应满足下列条件将ai代入表示可能位移的级数中，这时的级数不仅满足连续性条件，而且保证了满足平衡条件用李兹法解出的位移总是比实际的低，解的精度取决于对基函数φi(x)的成功选取及级数的项数—级数中的每一个函数应当是独立的，并满足运动边界条件(几何约束条件)—函数应构成整个体系，亦即函数的组合所描述的任一个位移不会与约束发生矛盾x=0及x=l时，υ=0和υ′≠0两端自由支持、承受集中力P作用的单跨梁，长度l，抗弯刚度EI。在图示的坐标下，梁的挠曲函数可取如下级数12323()sinsinsinsinnnxxxnxxaaaallll()cosnnnnxxall2220011dsind22llnnnnxVEIxEIaxll2201sinsind2lnknknknxkxEIaaxllll12nnnnnnnaaaaaa2nnnnnnaaa2201sinsind2lnknknknxkxVEIaaxllll12nnknnnnaaaaaaknknaa00,sinsind,2当当lnknxkxxlllnk00cossincoscosdlllnxkxknxkxxnllnll0sinsindlnxkxxll2201sinsind0lknxkxxlln22200sincossinsindllklnxkxknxkxxllllnn0sinsind0当lnxkxnkxll20012sind1cosd22当llnxnxlnkxxll应变能1sin33nnlnUPPa42243011d,24当lnnEIVEIxannkl外力功42431sin43nnnEInVUanPal344sin23nnPlaEIn取Π对广义坐标an的导数为零，求得方程系数为梁的总位能为443sin023nnEInnaPal3441sin23()sinnnPlnxxlEIn误差为6.4%；当取2项时，计算得到的挠度几乎是精确值级数只取1项时，计算得到的力作用点处梁的挠度为准确值33324423sin0.0154332lPlPlPlEIEIEI3340.016463243lPlPlEIEI4.4.5势(位)能驻值原理的近似解法——伽略金法IV0()()()d()()0lnnniniininiEIaxqxxxPxMx选取挠曲线函数满足梁端的所有边界条件()()nnnxax如果结构的平衡微分方程可以写出，则伽略金法要比李兹法方便得多李兹法与伽略金法的主要差异IV0()()()d()()0lnnniniininiEIaxqxxxPxMx作用在x=xi处的集中力作用在x=xi处的集中弯矩分布载荷下平衡微分方程李兹法要求选取的位移函数满足位移边界条件即可，再无其它限制，所以选取函数比较容易伽略金法要求所选取的位移函数不仅满足位移边界条件，而且还要满足力边界条件，要求的条件比较高，故选取函数时比李兹法困难在实际应用中，李兹法比伽略金法获得了更广泛的应用。在计算时李兹法比伽略金法要繁一些反力余位能§4.5余能原理**iiiVRiiiiiiRRRi为结构的约束反力、∆i为相应于约束反力处的位移4.5.1余位能驻值原理仿照总位能Π定义总余能Π*根据虚力原理，若Ri有变化δRi，则虚余功为*iiiVR仅计入支反力。因为在余位能驻值原理中外载荷不变，增量为零，故不计入对于不能发生位移的支座，总余位能等于余能，即Π*=V**0*0iiiVR**0V余位能驻值原理**112233iiiVWPPPP****123123VVVVPPPPPP结构发生虚位移δPi时，余能V*的变分可写作4.5.2应力能原理根据虚力原理***1122331230VVVPPPPPP由虚力δPi变化的任意性(即不恒为零)，可得*iiVP(i=1,2,3,…)*kkVP应力能原理或恩格塞尔定理，代表了结构的变形协调条件，可用来建立力法的方程式表明结构的余能对某一广义力的偏导数等于对应于此力的广义位移*iiVP(i=1,2,3,…)在线性体系中，上式是力法的正则方程式若结构中仅有力Pk发生变化，而其余的力保持不变，则kkVP线性体系，V*=V卡氏第二定理材料力学中的卡氏定理*0iVX(i=1,2,3,…,r)在线性体系中，结构的应变能(表达为力的函数)对约束反力的偏导数等于零最小功原理在结构分析中十分有用，特别适用于曲杆及圆环结构的分析0iVX线性体系V*=V最小余能定理，表明在稳定平衡的静不定结构中，当外约束处的位移为零及内约束处的位移协调时，多余的约束反力使结构的余能为最小值Xi约束力最小功原理r个支座弹性支座应计及变形能弹性基础应计及变形能写出图示弹性基础梁的总位能，不计剪切和拉伸。梁的长度为l变形能22200()111()d()d222lllVEIxxkxxA201()d2lUTxx力函数中应计及压力T所做功力函数()dPkxx()x2011()d22VPkxx参阅板条梁大挠度弯曲的相关内容总位能VU例计算图示梁单元的刚度矩阵解：梁单元的位移向量及相应的力向量如下T1234T1122{}41()()iiixNx设梁的挠曲线为23123222233232413212321xxNllxxNxllxxNllxxNll式中，Ni(i=1,2,3,4)是4个形状函数T1234T1122{}FFFFFRMRM由形状函数N1、N2、N3、N4表达的挠曲线υ(x)，满足梁的所有位移边界条件，是真实的挠曲函数