反常积分敛散性的判别

中南财经政法大学数学分析§2无穷积分的性质及收敛判别一、无穷积分的性质本节讨论无穷积分的性质,并用这些性质得到无穷积分的收敛判别法.二、非负函数无穷积分的收敛判别法三、一般函数无穷积分的收敛判别法()dafxx收敛的充要条件是:0,,Ga1221()d()d()d.uuuaaufxxfxxfxx一、无穷积分的性质12,,uuG当时证()()d,[,),()duaaFufxxuafxx设则lim().uFu收敛的充要条件是存在极限由函数极限的柯西准则,此等价于(无穷积分收敛的柯西准则)无穷积分定理11.112120,,,,()(),GauuGFuFu1221()d()d()d.uuuauafxxfxxfxx性质11212()d()d,,aafxxfxxkk若与都收敛为任意常数,则1122()()dakfxkfxx即根据反常积分定义,容易导出以下性质1和性质2.,也收敛且1122()()dakfxkfxx()d()d(),abfxxfxxba与()d()d()d.baabfxxfxxfxx同时收敛或同时发散，且性质2[,]fau若在任何有限区间上可积,则1122()d()d.aakfxxkfxxh(x)在任意[a,u]上可积,且()d()daafxxgxx和()d.ahxx都收敛,则收敛证因为()d()daafxxgxx和收敛,由柯西准则的必要性,120,,,GauuG例1),[),()()(axxgxhxf,f(x),g(x),若1221()d,()d,uuuufxxgxx222111()d()d()d,uuuuuugxxhxxgxx再由柯西准则的充分性,()d.ahxx证得收敛即21()d.uuhxx()()(),fxhxgx又因为所以[,),()d.uauafxxM二、非负函数无穷积分的收敛判别法lim().uFu条件是存在12()0,fxuu由于当时，2121()d()d()d0,uuuaaufxxfxxfxx定理11.2(非负函数无穷积分的判别法)设定义在上的非负函数f在任何[,)a[,],au上可积则()dafxx收敛的充要条件是:0,M使证()()d,uaFufxx()dafxx则收敛的充要设[,),()d.uauafxxM有()(),[,),fxgxxG非负函数f,g在任何有限区间[a,u]上可积,且定理11.3(比较判别法)设定义在上的两个[,)a增函数的收敛判别准则,lim()uFu存在的充要条从而F(u)是单调递增的([,)).ua由单调递()[,)Fua件是在上有界,0,M即使存在满足,Ga证()dagxx若收敛,0,[,),Mua则()d.uagxxM()d()d.uuaafxxgxxM因此由非负函数无穷积分的判别法,()dafxx收敛.()d,()daafxxgxx当发散时亦发散.()d,()daagxxfxx则当收敛时亦收敛;第二个结论是第一个结论的逆否命题,因此也成立.516d1xx收敛.例2判别516d1xx的收敛性.22()d()daafxxgxx明:若和收敛,则()()d.afxgxx收敛解651dxx由于收敛,因此656511.1xx显然设f(x),g(x)是上的非负连续函数.证[,)a例32222()()11d()d()d222aaafxgxxfxxgxx()()d.afxgxx收敛,因此收敛推论1设非负函数f和g在任何[a,u]上可积,且()lim.()xfxcgx)i(0()d()daacfxxgxx若，则与收敛性相同;证22()()()(),2fxgxfxgx而由于(ii)0,()d()daacgxxfxx若则由收敛可得收敛;(iii),()d()daacgxxfxx若则由发散可得发散.证()(i)lim0,,,()xfxcGaxGgx由故存在使有(),()2fxccgx即3()()().22ccgxfxgx()d,()d2aacfxxgxx若收敛则可得收敛,从而()d()d,aagxxgxx收敛.反之,若收敛可得3()d()d.2aacgxxfxx收敛,从而收敛()(ii)lim0,,,()xfxGaxGgx由存在使有()(),[,),()dafxgxxGgxx即因此由收敛()d.afxx可推得收敛()1,()fxgx()(iii)lim,,,()xfxGaxGgx由存在使有()(),[,),()dafxgxxGgxx即因此由发散()d.afxx可推得发散1(i)()(1),()dpafxpfxxx若则收敛;推论2设f是定义在上的非负函数,在任何[,)a[,]au有限区间上可积.()1,()fxgx)i(1,0,()dapfxx当时收敛;)ii(1,0,()d.apfxx当时发散lim(),pxxfx若则限区间[a,u]上可积.推论3设f是定义在上的非负函数,在任何有[,)a1(ii)()(1),()d.pafxpfxxx若则发散说明:推论3是推论2的极限形式，读者应不难写出它的证明.例4讨论1lndkpxxx的收敛性(k0).解(i),1时p12lnlimpkpxxxx12lnlim0.pkxxx1lnd.kpxxx因此由推论3知道收敛)ii(1ln1,limlimln.kpkpxxxpxxxx时1lnd.kpxxx因此同理知道发散若无穷积分()d,()daafxxfxx收敛则称以下定理可用来判别一般函数无穷积分的收敛性.三、一般函数无穷积分的判别法何有限区间[a,u]上可积,()d,afxx且收敛则()dafxx亦必收敛,并且()d()d.aafxxfxx定理11.4(绝对收敛的无穷积分必收敛)若f在任绝对收敛.210,,,GauuG当时21()d,uufxx因此2211()d()d.uuuufxxfxx再由柯西准则的充分性,()dafxx推知收敛.()dlim()d()d.uaaaufxxfxxfxx又对任意()d()d,uuaafxxfxx于是,ua证()d,afxx收敛由柯西准则的必要性,对因1sind()xxxax因此绝对收敛.收敛的无穷积分()dafxx不一定是绝对收敛的.()d|()|d,aafxxfxx若收敛而发散则称()dafxx条件收敛.例51sind(0)()xxaxax的收敛性.判别解sin1,()xxaxxx而3211dxx收敛,由于瑕积分的性质与收敛判别,与无穷积§3瑕积分的性质与收敛判别内容大都是罗列出一些基本结论,并举分的性质与收敛判别相类似.因此本节例加以应用,而不再进行重复论证.定理11.7（瑕积分收敛的柯西准则）2121()d()d()d.bbuuuufxxfxxfxx()d()bafxxa瑕积分瑕点为收敛的充要条件是证()()d,(,),()dbbuaFufxxuabfxx设则lim().uaFu收敛的充要条件是存在由函数收敛的1212,(,)()(),uuaaFuFu，120,0,,(,)uuaa任给存在当时，柯西准则，此等价于0,0,2121()d()d()d.bbuuuufxxfxxfxx即性质11212,,ffxakk设函数与的瑕点同为1122(()())d,bakfxkfxx也收敛且12,()d()d,bbaafxxfxx为任意常数若和都收敛则1122(()())dbakfxkfxx1122()d()d.bbaakfxxkfxx性质2,(,),fxacab设函数的瑕点若则()d()d,bcaafxxfxx与同时收敛或同时发散且()d()d()d.bcbaacfxxfxxfxx性质3,(,]fxafab设函数的瑕点为在的任一,(),()d,baubuafxx闭区间[]上可积则收敛时()d,()d()d.bbbaaafxxfxxfxx也收敛且定理11.8(非负函数瑕积分的判别法)(,](),abfx若定义在上的非负函数在任意闭区间[,](),()dbaubuafxx上可积则收敛的充要条件(,],()d.buMuabfxxM是:存在，对任意定理11.9(比较法则)(,],abfg设定义在上的两个非负函数与瑕点同,[,](,]xaubab为在任何上都可积,且满足()(),(,].fxgxxab()d,()d;bbaagxxfxx则当收敛时必定收敛()d,()d.bbaafxxgxx发散时必定发散[,]()fgubaub若非负函数和在任何推论1则且上可积,lim,cxgxfax(i)0()d()d;bbaacfxxgxx时，与收敛性相同(ii)0()d()d;bbaacgxxfxx时，收敛可推得收敛(iii)()d()d.bbaacfxxgxx时，发散可推得发散[,](,]ubab在任何上可积.则有1(i)(),01,()d()bpafxpfxxxa当时收敛;1(ii)(),1,()d.()bpafxpfxxxa当时发散推论2(,],,faba设非负函数定义在上为瑕点且推论3(,],,faba设非负函数定义于为瑕点且在任[,](,]lim()(),pxaubabxafx何上可积.若则(i)01,0()dbapfxx当时，收敛;(ii)1,0()d.bapfxx当时，发散~sin~tan~arcsin~arctanxxxxx利用可以判别一些非负函数瑕积分的收敛性.~ln(1)~e1(0),xxx例12313sind.1lnxxxx判别瑕积分的收敛性1,x解瑕点为1321333sin1sin.ln(1)(1)ln(11)1xxxxxxxx由于2133sinsin10(1),(1)3xxxx而131343111~,(1)ln(11)(1)(1)(1)xxxxx22433311dsind.(1)1lnxxxxxx因此由发散知发散例210lnd.xxx判别瑕积分的收敛性解0ln0((0,1]).xxx是瑕点,由于3/41400lnlimlimln0,xxxxxxx1100lnln3dd.xxxxxx因此由推论知收即,收敛敛10()d1axaxx的收敛性.11101()dd11aaxxaxxxx(i)().10,1;Iaaa先讨论当即时它是定积分讨论反常积分例3()a把反常积分写成解()().IaJa110lim1,1aaxxxx10.ax当时它是瑕积分,瑕点为由于11.9011,pa因此由定理的推论3,当即,()Ia时发散.(ii)(),Ja再讨论它是无穷积分.由于0,()11,0aIapaa时瑕积分收敛