反常积分概念

返回后页前页§1反常积分概念一、反常积分的背景反常积分讨论的是无穷区间上的积分和无界函数的积分，是定积分概念的推广.二、两类反常积分的定义返回返回后页前页一、反常积分的背景在讨论定积分时有两个最基本的条件：积分区间但以下例子告诉我们有时我们需要考虑无穷区间例1(第二宇宙速度问题）在地球表面垂直发射火的有穷性;被积函数的有界性.上的“积分”或无界函数的“积分”.箭,要使火箭克服地球引力无限远离地球,试问初速度v0至少要多大？返回后页前页解设地球半径为R,火箭质量为m,地面上的重处火箭所受的引力为,22xmgRF于是火箭从地面上升到距地心为处需作功Rr.11d222rRmgRxxmgRrRRx力加速度为g,按万有引力定理,在距地心返回后页前页r当时,其极限mgR就是火箭无限远离地的积分2222dlimd.rRRrmgRmgRxxmgRxx由机械能守恒定律可求初速度至少应使0v201.2mvmgR269.81(m/s),6.37110(m)gR用代入,得0211.2(km/s).vgR球需作的功．于是自然把这一极限写作上限为返回后页前页例2圆柱形桶的内壁高为h,内半径为R,桶底有2().vghx在时间dt内,桶中液面降低的微小量为dx,它们22dd,0,.2Rtxxhrghx解桶内水位高度为时,流出水的速度为hx一半径为r的小孔．试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水,共需多少时间？22πdπd,Rxvrt因此之间应满足返回后页前页于是流完一桶水所需时间为220d.2hRtxrghx但由于被积函数是上的无界函数,所以它的h,0220limd2uuhRtxrghx222limuhRhhugr确切含义为22.hRgr返回后页前页二、两类反常积分的定义区间[a,u]上可积.若存在极限lim()d,uaufxxJ则称此极限J为函数f在上的无穷限反,a()d,aJfxx()d,afxx并称收敛()d.afxx否则称发散定义1设函数f定义在[a,+)上,且在任何有限常积分(简称无穷积分),记作返回后页前页类似定义()dlim()d,bbuufxxfxx()d()d()d.aafxxfxxfxx).a其中是(，内任意一点域内无界,但在任何内闭区间[u,b]上有界且可积.如果存在极限lim()d,buuafxxJ定义2设函数f定义在(a,b]上,在a的任意右邻返回后页前页则称此极限为无界函数f在(a,b]上的反常积分,()d,baJfxx()dbafxx则称发散.()dbafxx并称收敛.lim()d,buuafxx若极限不存在类似定义瑕点为b时的瑕积分()dlim()d.buaaubfxxfxx()dbafxx又称为瑕积分,通常称a为f的瑕点.记作返回后页前页其中f在[a,b)有定义,在b的任一左邻域内无界,()d()d()dbcbaacfxxfxxfxxlim()dlim()d.ubavucvcfxxfxx若f的瑕点,定义(,)cab()d()d,()dcbbacafxxfxxfxx若和都收敛则称.收敛[,][,]auab在任何上可积.返回后页前页例1讨论无穷积分1d.pxx的收敛性Oxy111pyx1p1p1p1p1p1p11,1,d1lim,1.upupxpxp解111d1,1,11,ln,pupxuppxpu因此,无穷积分的牛顿－莱布尼若f(x)的原函数为F(x),返回后页前页()d(),aafxxFx解21edee,ptptpttttCpp例2讨论无穷积分0ed0.ptttp的收敛性2001edeeptptpttttpp因此()()lim()().uFFaFuFa茨公式写作返回后页前页2211(00)0.pp例3讨论瑕积分10d0qxqx的收敛性.解1111,1d1ln,1,qquuqxqxuq1100dd101,lim;1qquuxxqqxx故当时10d1,.qxqx当时发散返回后页前页同样,若f(x)的原函数为F(x),瑕积分的牛顿-莱()d()()()bbaafxxFxFbFa()lim().uaFbFu例4计算瑕积分10lnd.xx解10lndxx的瑕点为0.因此,11100lndlimlndxxxxx0lim0ln11.布尼茨公式写作返回后页前页是否必有lim()0?xfx2.()[,)fxa在上非负连续,,0)(limxfx是否可推得()dafxx收敛?3.()[,)fxa在上定义,且.)(limAxfx复习思考题()d0?afxxA当收敛时,是否必有1.()[,)fxa在上非负连续,且收敛,()dafxx