苏科版九年级数学下册第七章《锐角三角函数》教学案

初中数学课题7.1正切(1)自主空间学习目标知识与技能：1.理解正切的概念，能通过画图求出一个角的正切的近似值。能运用正切解决与直角三角形有关的简单问题。过程与方法：1.经历探索表示物体倾斜程度，形成正切的概念的过程，练就创造性解决问题的能力。学习重点理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。学习难点计算一个锐角的正切值的方法。教学流程预习导航观察回答：如图某体育馆，为了方便不同需求的观众设计了多种形式的台阶。下列图中的两个台阶哪个更陡？你是怎么判断的？图（1）图（2）[点拨]可将这两个台阶抽象地看成两个三角形答：图的台阶更陡，理由合作探究一、新知探究：1、思考与探索一：除了用台阶的倾斜角度大小外，还可以如何描述台阶的倾斜程度呢？①可通过测量BC与AC的长度，②再算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度。（思考：BC与AC长度的比与台阶的倾斜程度有何关系？）答：_________________.③讨论：你还可以用其它什么方法？能说出你的理由吗？答：________________________.2、思考与探索二：（1）如图，一般地，如果锐角A的大小已确定，我们可以作出无数个相似的RtAB1C1，RtAB2C2，RtAB3C3……，那么有：Rt△AB1C1∽_____∽____……根据相似三角形的性质，AC1C2AC3B1B2B3初中数学得：111ACCB＝_________＝_________＝……（2）由上可知：如果直角三角形的一个锐角的大小已确定，那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也_________。3、正切的定义如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分别是∠A的对边和邻边。我们将∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A_______，记作______。即：tanA＝________＝__________（你能写出∠B的正切表达式吗？）试试看.4．思考：当锐角α越来越大时，α的正切值有什么变化？二．例题分析：例1：⑴某楼梯的踏板宽为30cm，一个台阶的高度为15cm，求楼梯倾斜角的正切值。⑵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，求tanA与tanB的值.⑶如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，tanA=求AB的值。例2：在在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，①tanA==；②tanB==；③tan∠ACD=；④tan∠BCD=；三．展示交流：1．在光的反射中，入射角等于反射角，入射角为∠1，AC⊥CD，BD⊥CD，且AC=3，BD=6，CD=11，求tan∠12．在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（－4,1），B（－1，3），C（－4,3），试求tanB的值。四、提炼总结：请你说说本节课有哪些收获？1ACBDOA对边bC对边aB斜边c34初中数学当堂达标1．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，AD=2，AC=3，求tanA值2．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90O，AC=BC，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBC=求AD的长。学习反思：课题7.2正弦、余弦（一）自主空间学习目标知识与技能：理解并掌握正弦、余弦的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。过程与方法：能用函数的观点理解正弦、余弦和正切。情感、态度与价值观：通过对正弦、余弦概念的学习感受数学知识31CADCAD初中数学的系统性。学习重点理解并掌握正弦、余弦的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。学习难点在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。教学流程预习导航问题1：如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m后，他的相对位置升高了5m，如果他沿着该斜坡行走了20m，那么他的相对位置升高了多少？行走了am呢？问题2：在上述问题中，他在水平方向又分别前进了多远？合作探究一、新知探究：1．思考：从上面的两个问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________；它的邻边与斜边的比值___________。（根据是______________________________。）2．正弦的定义如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边a与斜边c的比叫做∠A的______，记作________，即：sinA＝________=________.3．余弦的定义如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,我们把锐角∠A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的______，记作=_________，即：cosA=______=_____。（你能写出∠B的正弦、余弦的表达式吗？）试试看________________.4．怎样计算任意一个锐角的正弦值和余弦值呢？（1）如书P42图7—8，当小明沿着15°的斜坡行走了1个单位长度到P点时，他的位置在竖直方向升高了约0.26个单位长度，在水平方向前进了约0.97个单位长度。20m13m初中数学根据正弦、余弦的定义，可以知道：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97（2）你能根据图形求出sin30°、cos30°吗？sin75°、cos75°呢？sin30°＝_____，cos30°＝_____.sin75°＝_____，cos75°＝_____.（3）利用计算器我们可以更快、更精确地求得各个锐角的正弦值和余弦值。（4）观察与思考：从sin15°，sin30°，sin75°的值，你们得到什么结论？从cos15°，cos30°，cos75°的值，你们得到什么结论？当锐角α越来越大时，它的正弦值是怎样变化的？余弦值又是怎样变化的？二、例题分析：例：已知：如图，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.（1）)()(sin　　　　　　BCACA（2）ABCD)()(Bsin　　　　　　（3）BCBCDCDACD)(cos,)(cos　　　　　　（4）)()(tan,)()(tan　　　　　　　　　　　　ACBDBACCDA三、展示交流：1.根据如图中条件，分别求出下列直角三角形中锐角．．的正弦、余弦值。2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则sinA＝_____，cosA＝_____，sinB＝_____，cosB＝_____。3．在Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，求（1）cosA；（2）当AB＝4时，求BC的长。4．已知在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，且a：b：c＝5：12：13，试求最小角的三角函数值。四、提炼总结：三角函数的实质是直角三角形中边之间的比：初中数学斜边的对边AAsin斜边的邻边AAcos当堂达标1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝1，则sinA＝_____，cosB=_______,cosA=________,sinB=_______.2．在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大3倍，则锐角A的各个三角函数值（）A.不变化B.扩大3倍C.缩小31D.缩小3倍3．若0°＜α＜90°，则下列说法不正确的是（）A、sinα随α的增大而增大B、cosα随α的增大而减小C、tanα随α的增大而增大D、sinα、cosα、tanα的值都随α的增大而增大4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝43，AB＝10，求BC和cosB。学习反思：课题7.2正弦、余弦（二）自主空间学习目标知识与技能：能够根据直角三角形的边角关系进行计算；过程与方法：能用三角函数的知识根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角情感、态度与价值观：在学习中体会数学与生活的联系，培养应用意识。学习重点能根据直角三角形的边角关系进行计算；用函数的观点理解正切，正弦、余弦值。学习难点用函数的观点理解正切，正弦、余弦值。教学流程初中数学预习导航1．在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=2,AC=4,则sinB=_____,cosB=_____,tanB=_____。2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,sinA=53，求BC、AC。合作探究一、新知探究：在直角三角形中，知道一边长及一锐角的三角函数值，你能求出其它各边的长和另一锐角的三角函数值吗？二、例题分析：小明正在放风筝，风筝线与水平线成35°角时，小明的手离地面1m，若把放出的风筝线看成一条线段，长95m，求风筝此时的高度。（精确到1m）（参考数据：sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192,tan35°≈0.7002）三、展示交流：1．为了测量河的宽度，在河的一边选定点C，使它正对着(视线与河岸垂直)河对岸的一棵树B，沿着点C所在的河岸行走100m，到达A处，测得∠CAB＝35°，求河的宽度BC（精确到0.1m）（参考数据：sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192，tan35°≈0.7002）2．某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼,该居民楼的一楼是高6米的小区超市,超市以上是居民住房.在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹角为30°时.（1）超市以上的居民住房采光是否有影响,为什么？CABABC35°初中数学（2）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？四、提炼总结：在直角三角形中，知道一边长及一锐角的三角函数值，就能求出其它各边的长和另一锐角的三角函数值。当堂达标1．在△ABC中，∠C＝90°，cosB=1312,AC＝10，求△ABC的周长和斜边AB边上的高。2．一把梯子靠在一堵墙上，若梯子与地面的夹角是68°，而梯子底部离墙脚1.5m，求梯子的长度（精确到0.1m）（参考数据：sin68°≈0.9272，cos68°≈0.3746，tan68°≈2.475）3．如图是引拉线固定电线杆的示意图，已知：CD⊥AB，CD＝33m，∠CAD＝∠CBD＝60°，求拉线AC的长。（精确到0.1m）（参考数据：sin60°≈0.8660，cos60°≈0.5000，tan60°≈1.732）学习反思：ABDC初中数学课题7．3特殊角的三角函数自主空间学习目标知识与技能：知道特殊锐角300、450、600三角函数值。过程与方法：体会数形结合的数学思想在三角函数中的应用。情感、态度与价值观：引导学生积极投入到探索新知的活动中，从中感受获得新知的乐趣。学习重点特殊角与其三角函数之间的对应关系。学习难点利用特殊角的三角函数值进行求值和化简。教学流程预习导航1．同学们已经学习了锐角的三角函数，你能分别说出正切、正弦、余弦的定义吗？2.在Rt△ABC中,∠ACB=90°∠A=30°，BC=1,在图中标出AB、AC的长并求出：sin30°=cos30°=tan30°=合作探究一、新知探究：1、利用直角三角形的三边关系求300、450、600角的三角函数值，并填在下表中：30°45°60°sinθ212223cosθ232221tanθ3313思考：当锐角α变大时，sinα的值变，cosα的值变，tanα的值变_____.二、例题分析：例1：求下列各式的值（1）2sin300－cos450（2）sin600cos600（3）sin2300+cos2300例2：求满足下列条件的锐角：（1）2sin－2=0（2）01tan3三角函数值三角函数θACB130°初中数学三、展示交流：1．求下列各式的值（1)tan45°－sin30°·cos60°（2）00045tan260tan160sin2．求满足下列条件的锐角α:(1)2cosα-2=0(2)tan（α+10°）=33．在Rt△ABC中，∠C=90°,若sinA=21,则BC∶AC∶AB等于（A．1∶2∶5B.1∶3∶5C.1∶3∶2D.1∶2∶34．已知α为锐角,当atan12无意义时,求tan(α+15°)-tan(α-15°)的值.5．已知：如图，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,BC=2,BD=3.分别求出△ABC、△ACD、△BCD中各锐角.四、提炼总结：1、300、450、600三角函数