2013届新课标高中数学(文)第一轮总复习第12章第65讲 几何概型

与长度有关的几何概型【例1】取一根长为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么，剪得两段的长度都不短于1m的概率有多大？{1m}11.311m.3AAPA如图所示，记＝剪得两段绳子长都不少于．把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件发生．由于中间一段的长度为，则＝故剪得两【段的长度都不短于的概率为解析】从每一个位置剪断绳子，都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3m的绳子上的任意一点，基本事件有无限多个，显然不能应用古典概型计算，可考虑用几何概型计算．【变式练习1】如图，A，B两盏路灯之间的距离是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装一盏路灯C，问A与C，B与C之间的距离都不小于10米的概率是多少？“10?11013010.3303EACBCABPE记＝与，与之间的距离都不小于米把三等分，由于中间长度为＝米，＝【＝解析】与面积有关的几何概型【例2】老王的晚报在下午5：30～6：30之间的任何一个时间随机地被送到，老王在下午6：00～7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐．(1)晚报在晚餐开始之前被送到和在晚餐开始之后被送到哪一种可能性更大？(2)晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？【解析】(1)晚报在5：30～6：30之间送到或晚餐在6：30～7：00之间开始，这两种情况都使得晚报的送达是在晚餐开始之前，故晚报在晚餐开始之前被送到的可能性大．675.56.5.(675.56.5)“”7,187.82xxyyGxyxyGyxggGP在平面上建立如右图的直角坐标系．图中直线＝，＝，＝，＝围成一个正方形区域设晚餐在时开始，晚报在时送达，，于是此试验的所有结果就与中的所有点一一对应．晚报在晚餐前送达当且仅当，因此图中阴影区域就表示晚报在晚餐前送达．易求得的面积为的面积为，故所求概率为＝本题的关键是设置晚报送到的时间和晚餐开始的时间分别为直角坐标系中的点的横坐标与纵坐标，进而构造出对应的几何图形．【变式练习2】设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0，若a是从区间[0,3]内任取的一个数，b是从区间[0,2]内任取的一个数，求上述方程有实根的概率．22222“20?0020|0302{()|03,02}132222.323AxaxbabxaxbabababAabababPA设事件为方程＋＋＝有实根，当，时方程＋＋＝有实根的充要条件为，试验的全部结果所构成的区域为，，，构成事件的区域为，，，如图，由几何概型的定义得＝【＝解析】与体积有关的几何概型【例3】一个球型容器的半径为3cm，里面装有纯净水．因为实验人员不小心混入了一个AIDS病毒，从中任取1mL水，含有AIDS病毒的概率是多少？3331mL44336cm36mL331mLAIDS10.00884.36RP病毒在水中的分布可以看作是随机的，从中取得水可看作构成事件的区域，所有水可看作试验的所有结果构成的区域，可用体积比公式计算其概率．水的体积为＝＝＝．故从中任取水，含有病毒的概率为＝【解析】把实际问题转化为数学模型是解决问题的关键，这道题主要是体积之间的关系．1111116ABCDABCDMMABCD正方体－的棱长为，在正方【变式练习3】体内随机取一点，求使四棱锥－的体积小于的概率．.113611.21.612MABCDABCDABCDMABCDhVShShMABCDAMABCD－正方形正方形设点到平面的距离为若＝＝，则因为＝，所以＝记四棱锥－的体积小于为事件因此，只要点到平面的距离小【】于解析，11111.61212121121.12MABCDMABCDABCDABCDABCDPA即可使四棱锥－的体积小于因为满足点到平面的距离小于的点组成一个以正方形为底面，高为的长方体，其体积为，又正方体－的体积为，所以＝＝1.在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10mL，则含有麦锈病种子的概率为________1100101.1000100P＝＝【解析】2.如图的矩形长为5，宽为2.在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为138颗．则我们可以估计出阴影部分的面积为___________2351382352.3005【由几何概型知所求面积为＝解析】3.4SABCABPSPBC在面积为的的边上任取一点，则的面积大于的概率为_________344.一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．“”“”“”7530540302755517515408.7121535ABCABCPAPBPC记到达路口看见红灯为事件，到达路口看见黄灯为事件，到达路口看见的不是红灯为事件，则整个区域的时间长度为秒，事件所占时间长度为秒，事件所占时间长度为秒，事件所占时间长度为秒．故＝＝；＝＝；＝＝【解析】25.0,1abfxxaxbx在区间上任取两个数，，求使函数＝＋＋的图象与轴有公共点的概率．2“”{()|01,01}40{()|01,0140}111124.18AfxxaxbxDababAabdabababPA设事件：函数＝＋＋的图像与轴有公共点，区域＝，，如图，要使事件发生，则＝－，所以区域＝，，－，如图中的阴影部分＝【＝解析】1．对于几何概型的应用题，关键是构造出随机事件A对应的几何图形，利用几何图形的测度来求随机事件的概率．根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系．在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的一点，便可构选出度量区域．2．分清古典概型与几何概型的关键就是古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，而几何概型则是无限个．