2013届新课标高中数学(文)第一轮总复习第2章第13讲 指数函数与对数函数

指数式的大小比较11320.33.10.90.481.510.80.921.70.91348()1.2－比较下列各组实数的大小．，；，；，，【例】111222113211320.33.10.33.10.91.80.481.44-1.51.50.9-1.50.480.80.90.90.90.80.9.1.71,0.911.70.9.14282()2214(8.23)21yx由函数＝的单调性得；由指数函数的单调性得，所以因为，所以因为＝，＝，＝，所以由指数函数的单调性得【解析】(1)(2)两组数据的底数不同，指数也不同，常见方法是寻找中间量．(1)题，由数的特点，知0.91/2是合适的中间量；(2)题，根据指数函数的性质，1是最合适的中间量；(3)题，可转化为同底的指数幂的大小比较，只需应用指数函数的单调性．【变式练习1】(1)比较60.7与0.76的大小；(2)若a、b、c都是大于1的正数，且axbxcx，比较a、b、c的大小．【解析】(1)因为60.71,0.761，所以60.70.76.(2)设d1，则y＝dx是增函数，对于x0，当d增大时，函数值也增大．对于x0，当d增大时，函数值减小．于是当x0时，由axbxcx，得abc；当x0时，由axbxcx，得cba.对数式的大小比较【例2】(1)已知loga5logb5，比较a、b的大小；(2)设f(x)＝loga(1－x)，g(x)＝loga(1＋x)(其中a1)，在公共定义域下，比较f(x)与g(x)的大小关系．555555551111loglogloglog11101,01loglogloglog0111,01ababbabaababbaabab当，时，，【即，所以；当时解析，，即，所以；当】时符合题意．(1,1)1log111101111010101.11(1,0)00,12afxgxxfxgxaxxxxxxxxxxxfxgxxfxgxxfxgx函数与的公共定义域是－．因为－＝，所以，当－时，；当＝时，＝；当时，于是，当－时，；当＝时，＝；当时，．比较对数的大小，有三种具体情况：①同底数，不同真数，利用对数函数的单调性进行判断；②同真数，不同底数，利用对数换底公式转化为同底的对数；③不同底数，也不同真数，利用指数、对数互化或寻找中间量进行判断．(1)中是同真不同底的两个对数，用对数换底公式比较简便；(2)题是函数值大小的比较，一般方法是作差，寻找自变量的取值范围或临界点，再作判断．【变式练习2】(1)已知m，n0且m、n都不为1.若logn2logm20，试比较m、n的大小；(2)比较log0.70.8，log1.10.9,1.10.9三个数的大小．22220.70.91.10.91.10.7111101,010loglogloglog001.0log0.81log0.901.11log0.9log0.81..121mnmnnmmnmn当，时，不符合要求；当时，，即，所以观察数的特点，知，，，【于解析】是指数函数的综合应用【例3】若函数y＝a2x＋2ax－1(a0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值．2212max1121max21(1)201211435()01()211114()3513.3xtatftttttaatayaaaaaatayaaaaa－－－－设＝，则函数化为关于的函数＝＋－＝＋－．当时，，＝＋－＝，解得＝或＝－舍去；当时，，＝＋－＝，解得＝或＝－舍去．故所求的值为【或解析】将复杂的数学问题转化为熟知的数学问题是数学化归思想的体现．换元法在数学化归思想中占有重要的地位．本题作换元后，将函数转化为f(t)＝t2＋2t－1(t0)，使题目的结构一下子变得清晰起来，因为二次函数在闭区间上存在最值是我们熟悉的问题．转化中要保证问题的等价性，一是由t＝ax，需要根据函数ax的单调性找出t的取值范围，二是需要分a1和0a1两种情况进行分类讨论．【变式练习3】已知函数y＝1＋2x＋a·4x，当x≤1时，恒有y0，求实数a的取值范围．222max1212?404(1)1211111()()[()].4222241()2111()[)24213().2433()44xxxxxxxxxaaxfxtxftttftfaa由＋＋，得－恒成立．令＝－＝－－设＝，则函数转化为＝－＋＋，，＋．所以＝＝－所以－，即实数的取值范围是－【】，＋解析．对数函数的应用(3)log(01)612014axfxaaxfxafx已知函数－＝，且．判【断的奇偶性，写出推理过程；当时，求函数的单例】调区间．1333log(33)33log(33)333()loglog()33361(3,3)3301log3log(33)3(12aaaaaauxxuufuuuxfxxxxxfxfxxxxtxxaytxfxxx－令＝－，得＝＋，于是＝－，所以＝－．因为－＝＝＝－，令＝＝－－，它在－上是增函数．当时【解析】，函数＝是减函数，所以函数＝－是减函数，故其单调递减区间是3,3)－．本题有较强的综合性，首先要通过变量代换，求出函数f(x)的表达式(防止直接判断f(x－3)的奇偶性)，然后再判断奇偶性．在研究函数的单调性时，本解答直接应用了反比例函数的单调性(常见基本函数的单调性是可以直接应用的)，如果一定要用单调性的定义来解答，也只需讨论3(33)3xtxx＝－单调．的性即可log(1)011()214.aafxaxfxafx设函数＝－．证明：函数在，＋上是减函数；解不等式【变式练习】12211212211212211221121212()log.()()()()0()01,()()log0,()()1aaaxxxxafxfxxxaxxaxxaaxxxxaxxaxxafxfxxxafxfxfxa证明：设，则－＝因为－－－＝－，所以于是－＝所以，所以【解函数在，＋上析】是减函数．011loglog0.000.1,1{|}12aaafxxaxaaaxxxaxxaxxaaaxxaaaaaxaxa因为，故由，得，则当时，得或；当时，得又所以原不等式的解集为．1.要使g(x)＝3x＋1＋t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为t≤－3.【解析】要使g(x)＝3x＋1＋t的图象不经过第二象限，只要g(0)＝31＋t≤0，即t≤－3.122.(log)________________yaxa若函数＝是减函数，则的取值范围是1220log10log111.2aaa由，得－，解得【解析】1(1).2，23.lg()10____________fxaxfx已知函数＝是奇函数，则的解集为0001.21lg(1)lg(11)1111lg0011110.fxxfaxfxxxxxxxxx由函数在＝处有意义，知＝，得＝－则＝＝－．由，得，解得－【解析】(－1,0)4.函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(0，＋∞).【解析】因为3x＋11，所以f(x)＝log2(3x＋1)log21＝0.11221“01?21231xxxxxxxxxyaaaayayayayayyya－．指数函数的概念、图象和性质指数函数＝是说明性定义，注意两点：底数范围的规定且，式子没有被其他元素一是二复合，如＝，＝，＝，＝＋等都不是指数函数．但要注意：对某些关系式，如＝，＝是等通过化简后可转化为＝的形式的，是指数函数．(2)讨论指数函数问题时，由于a1与0a1影响了函数的性质，因此在底数不确定时，应当对底数作分类讨论．(3)指数函数图象的特点，首先它是R上的单调函数，当底数a1时，是R上的增函数；当0a1时，是R上的减函数，值域为(0，＋∞)，函数图象恒过定点(0,1)，图象以x轴为渐近线；其次函数y＝ax与函数y＝a－x的图象关于y轴对称．2log(01)01.2logloglog11aaaayxaaaayxyxyx．对数函数的概念、图象和性质对数的定义是说明性定义，只有形如＝，且的形式才是对数函数，有两层含义：真数是正数，底数，且对于＝，＝，＝＋都不是对一是二是数函数．(2)对数函数y＝logax(a0，且a≠1)的单调性由底数a的大小决定．当0a1时，y＝logax是(0，＋∞)上的减函数；当a1时，y＝logax是(0，＋∞)上的增函数．设u＝u(x)0，y＝logau是复合函数，只要u0成立，那么函数y＝logau的值域就是R.211222323233log(01)01,01111,010111110.log0log0.33loglog1loglog01loglog3axaaaxaxaxaxxyxyxxxxxxxy掌握对数值的变化规律：对数函数，且，当或，时，对数值是正数；如果或，，则对数值是负数；当＝时，对数值为如，从＝，＝的大小比较中，要掌握这样的规律：；；从＝1412334,34loglog101.xyxxyyxyy，＝的大小比较中可得到：3．由指数函数、对数函数和其它函数构成的复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性的讨论，要同时考虑定义域和复合函数的相关知识．