趋势面分析

[e-mail]1趋势面分析方法第1节趋势面分析的一般原理第2节趋势面模型的适度检验第3节趋势面分析应用实例[e-mail]2趋势面分析是利用数学曲面模拟地理系统要素在空间上的分布及变化趋势的一种数学方法。第1节趋势面分析的一般原理趋势面分析的实质：通过回归分析原理，运用最小二乘法拟合一个二维非线性函数，模拟地理要素在空间上的分布规律，展示地理要素在地域空间上的变化趋势。[e-mail]3趋势面分析方法常被用来模拟资源、环境、人口及经济要素在空间上的分布规律，它在空间分析方面具有重要的应用价值。举例:粮食产量与气温和降雨量等自然因素的关系是非线性关系，可以利用趋势分析来拟合回归模型从而预测粮食产量。[e-mail]4趋势面是一种抽象的数学曲面，它抽象并过滤掉一些局域随机因素的影响，使地理要素的空间分布规律明显化。所谓的空间趋势面并不是地理要素的实际分布面，而是一个模拟地理要素空间分布的近似曲面。[e-mail]5变量的实测数据Mi(xi,yi,zi)分布在趋势面上或趋势面上下，如图所示。xyz实测点在趋势面上的投影实测点),,(iiiizyxM),,(iiiizyxM趋势面趋势面示意图[e-mail]6实际曲面=趋势面+剩余曲面:–趋势面反映地理要素的宏观分布规律，属于确定性因素作用的结果；–剩余面反映局部性变化特点，它受局部因素和随机因素的影响（局部异常、随机干扰和模型本身的误差）。[e-mail]7观测值=确定性函数值+随机性函数值=趋势值+剩余值我们通常用回归分析的方法来求趋势值和剩余值。♦趋势面分析的基本要求：使剩余值最小、趋势值最大，这样拟合度精度才能达到足够的准确性。空间趋势面分析，正是从地理要素分布的实际数据中分解出趋势值和剩余值，从而揭示地理要素空间分布的趋势与规律。[e-mail]81.1建立趋势面模型设某地理要素的实际观测数据为趋势面拟合值为则有（3.6.1）式中：εi即为剩余值（残差值）。显然，当（xi，yi）在空间上变动时，（3.6.1）式就刻画了地理要素的实际分布曲面、趋势面和剩余面之间的互动关系。,n)1,2,)(i,y(xziii),y(xziiiˆiiiiiiiyxzyxz),(ˆ),([e-mail]9趋势面分析的核心：从实际观测值出发推算趋势面，采用回归分析方法，使得残差平方和趋于最小，即：min)],(ˆ),([1212niiiiiiiniyxzyxzQ以此来估计趋势面参数。这就是在最小二乘法意义下的趋势曲面拟合。[e-mail]10用来计算趋势面的数学方程式有多项式函数和傅立叶级数，其中最为常用的是多项式函数形式。因为任何一个函数都可以在一个适当的范围内用多项式来逼近，而且调整多项式的次数，可使所求的回归方程适合实际问题的需要。[e-mail]11多项式趋势面的形式：①一次趋势面模型：②二次趋势面模型：③三次趋势面模型：yaxaaz21025423210yaxyaxayaxaaz25423210yaxyaxayaxaaz39282736yaxyayxaxa（3.6.2）（3.6.3）（3.6.4）[e-mail]12在实际的空间趋势面模拟中，按照对事物认识由易到难的规律，应首先考虑用公式（3.6.2）表达的倾斜平面去拟合，然后再用公式（3.6.3）描述的二次抛物趋势面去模拟，如果还不能满足研究需求，则需选用三次趋势面、四次趋势面甚至更高次趋势面进行拟合。[e-mail]13实质：根据观测值zi，xi，yi（i=1,2,…,n）确定多项式的系数a0，a1，…，ap，使残差平方和最小。过程：①将多项式回归（非线性模型）模型转化为多元线性回归模型。令则ppxaxaxaaz22110ˆ,,,,,2542321yxxyxxxyxxx1.2估计趋势面模型的参数[e-mail]14③求Q对a0，a1，…，ap的偏导数，并令其等于0，得正规方程组：(式中a0，a1，…，ap为p+1个未知量）②其残差平方和为nipipiiiniiixaxaxaazzzQ122211012)]([]ˆ[niipininipipippiinipiniiininiipipiiniiniininipipizxxxaxxaxazxxxaxxaxazxaxana111111011111111110111110（3.6.5）（3.6.6）[e-mail]15③用矩阵形式表示pnnnppxxxxxxxxxX212221212111111paaaA10nzzzZ10则（3.6.6）式变为ZXXAXTT（3.6.7）④对于二元二次多项式有其正规方程组为：25423210yaxyaxayaxaaz[e-mail]16由式（3.6.7）求解，可得：543210222222222221112111222212211222212121111111aaaaaayyxxyxyyxxyxyyxxyxyyyyxyxyxxxxyyyxxxnnnnnnnnnnnnnnnnnnnzzzyyyyxyxyxxxxyyyxxx10222212211222212121111ZXXXATT1)(（3.6.8）[e-mail]172.1趋势面拟合适度的R2检验2.2趋势面拟合适度的显著性F检验2.3趋势面适度的逐次检验第2节趋势面模型的适度检验[e-mail]18趋势面与实际面的拟合度系数R2是测定回归模型拟合优度的重要指标。一般用变量z的总离差平方和中回归平方和所占的比重表示回归模型的拟合优度。总离差平方和等于回归平方和与剩余平方和之和。即RDniiniiiTSSSSzzzzSS1212)ˆ()ˆ(2.1趋势面拟合适度的R2检验[e-mail]19为剩余平方和，它表示随机因素对Z的离差的影响，为回归平方和，它表示p个自变量对因变量z的离差的总影响。越大（或越小）就表示因变量与自变量的关系越密切，回归的规律性越强、效果越好。记越大，趋势面的拟合度就越高。niiiDzzSS12)ˆ(niiRzzSS12)ˆ(RSSDSSTDTRSSSSSSSSR122R（3.6.9）[e-mail]20趋势面适度的F检验是对趋势面回归模型整体的显著性检验。方法：利用变量z的总离差平方和中剩余平方和与回归平方和的比值，确定变量z与自变量x、y之间的回归关系是否显著。即结果分析：在显著性水平α下，查F分布表得Fα，若计算的F值大于临界值Fα，则认为趋势面方程显著；反之则不显著。1//pnSSpSSFDR（3.6.10）2.2趋势面拟合适度的显著性F检验趋势[e-mail]21步骤：(1)求出较高次多项式方程的回归平方和与较低次多项式方程的回归平方和之差；(2)将此差除以回归平方和的自由度之差，得出由于多项式次数增高所产生的回归均方差；(3)将此均方差除以较高次多项式的剩余均方差，得出相继两个阶次趋势面模型的适度性比较检验值F。若所得的F值是显著的，则较高次多项式对回归作出了新贡献，若F值不显著，则较高次多项式对于回归并无新贡献。相应的方差分析表见表9.1。2.3趋势面适度的逐次检验[e-mail]22表9.1多项式趋势面由K次增高至（K+1）次的回归显著性检验离差来源平方和自由度均方差F检验（K+1）次回归p（K+1）次剩余n–p–1K次回归qK次剩余n–q–1由K次增高至（K+1）次的回归p–q总离差SST)1(KRSS)1(KDSSpSSMSKRKR/)!()1()1/()!()1(pnSSMSKDKD)1()1(/KDKRMSMS)(KRSS)(KDSSqSSMSKRKR/)()()1/()()(qnSSMSKDKD)()(/KDKRMSMS)1()(/KDIRMSMS)/()()(qpSSMSIRIRKRKRIRSSSSSS)1()([e-mail]23注意：在实际应用中，往往用次数低的趋势面逼近变化比较小的地理要素数据，用次数高的趋势面逼近起伏变化比较复杂的地理要素数据。次数低的趋势面使用起来比较方便，但具体到某点拟合较差；次数较高的趋势面只在观测点附近效果较好，而在外推和内插时效果较差。[e-mail]24实例1：某流域1月份降水量与各观测点的坐标位置数据如表3.6.2所示。下面，我们以降水量为因变量z，地理位置的横坐标和纵坐标分别为自变量x、y进行趋势面分析，并对趋势面方程进行适度F检验。第3节趋势面分析应用实例[e-mail]25表9.2流域降水量及观测点的地理位置数据序号降水量Z(mm)横坐标x（104m）纵坐标y（104m）12345678910111227.638.42424.73255.540.437.53131.75344.901.11.82.953[e-mail]26（1）建立趋势面模型22070.8357.0558.3787.29438.17998.5yxyxyxz236.6,839.02FR解题步骤：①二次趋势面模型。采用二次多项式进行趋势面拟合，用最小二乘法求得拟合方程为：[e-mail]27求取拟合方程的具体过程：将相关数据输入Excel软件中；令x1＝x，x2＝y，x3＝x2，x4＝xy，x5＝y2，并根据原始数据进行运算，结果如下：[e-mail]28–将前述准备好的数据复制到SPSS软件中，如下图：[e-mail]29–按图示进行操作，利用SPSS软件求取方程系数。[e-mail][e-mail]31运算结果VariablesEntered/RemovedbX5,X1,X4,X3,X2a.EnterModel1VariablesEnteredVariablesRemovedMethodAllrequestedvariablesentered.a.DependentVariable:[e-mail][e-mail]33图3.6.1某流域降水量的二次多项式趋势面[e-mail]34②三次趋势面模型。按照同样方法采用三次趋势面进行拟合，用最小二乘法求得拟合方程为xyxyxz166.33389.8130.130557.37810.482054.6,965.02FR32232785.9566.2138.6133.4740.62yxyyxxy[e-mail]35基于SPSS的运算结果VariablesEntered/RemovedbX9,X3,X7,X2,X1,X8,X4,X6,X5a.EnterModel1VariablesEnteredVariablesRemovedMethodAllrequestedvariablesentered.a.D