26.2.1二次函数y=ax^2的图像与性质

义务教育课程标准实验教科书九年级下册27.2二次函数的图像(1)一、正比例函数y=kx（k≠0）其图象是什么。二、一次函数y=kx+b（k≠0）其图象又是什么。正比例函数y=kx（k≠0）其图象是一条经过原点的直线。一次函数y=kx+b（k≠0）其图象也是一条直线。三、反比例函数（k≠0）其图象又是什么。xky反比例函数（k≠0）其图象是双曲线。xky学科网二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）其图象又是什么呢？。二次函数y=ax2的图像1、你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?x…-3-2-10123…y=x2……9411049解：列表Z.x.x.Kxy0-4-3-2-11234108642-2描点,连线y=x2?2xy二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.抛物线Zx.xk2xy当a0时，在对称轴的左侧(x0)时,y随着x的增大而减小.当a0时，在对称轴的右侧(x0)时,y随着x的增大而增大.当x=-2时，y=4当x=-1时，y=1当x=1时，y=1当x=2时，y=4观察抛物线y=x2的图像可知：当a0时，抛物线开口，对称轴在对称轴的左侧(x0)时,y随着x的增大而.在对称轴的右侧(x0)时,y随着x的增大而.顶点是它的最点,当x=0时,函数y的值最,最小值是.向上y轴减小增大（0，0）低小02、描点法画二次函数y=-x2的图象做一做你能根据表格中的数据作出猜想吗？xy=-x2x…-3-2-10123…y=-x2x…-9-4-10-1-4-9…解：列表做一做xy0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1描点,连线y=-x2?Zx.xk2xy当x0(在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而增大.当x0(在对称轴的右侧)时,y随着x的增大而减小.y当x=-2时,y=-4当x=-1时,y=-1当x=1时,y=-1当x=2时,y=-4观察抛物线y=-x2的图像可知：当a0时，抛物线开口，对称轴在对称轴的左侧(x0)时,y随着x的增大而.在对称轴的右侧(x0)时,y随着x的增大而.顶点是它的最点,当x=0时,函数y的值最,最大值是.向下y轴增大减小（0，0）高大0做一做3、在同一坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象,观察并比较这两个图像，它们有什么共同点？又有什么区别？xy=x2y=-x2..................0-2-1.5-1-0.511.50.5200.2512.2540.2512.254用光滑曲线连结时要自左向右顺次连结0-0.25-1-2.25-4-0.25-1-2.25-4注意：列表时自变量取值要均匀和对称。2xy2xy共同点：不同点：y=x2的图象开口，顶点是抛物线的，在对称轴的左边，曲线自左向右；在对称轴的右边，曲线自左向右．y=-x2的图象开口，顶点是抛物线的，在对称轴的左边，曲线自左向右；在对称轴的右边，曲线自左向右．比较二次函数y=x2与y=-x2的相同点与不同点2xy2xy都是一条，都以为对称轴，顶点抛物线y轴(0、0）向上最低点下降上升向下最高点上升下降Zx.xk1、当a0时，二次函y＝ax2(a≠0)开口,对称轴为轴（直线x=0）有最点。及x=，y最小=2、当a0时，二次函y＝ax2(a≠0)开口,对称轴为轴（直线x=0）有最点。及x=，y最大=1、自变量X取全体实数2、当a0时，XO,y随x增大而，XO,y随x增大而当a0时，XO,y随x增大而,XO,y随x增大而3、图像过顶点且当X=时y=是图像最值。二次函数y=ax2的图像与性质2axy2axy图像特点：性质：向上y低00向下y高00增大减小减小增大(0、0）001、在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象：（1）y=3x2（2）做一做231xy2、根据上题所画的函数图像填空：(1)抛物线y=3x2的对称轴是,顶点坐标是,在对称轴侧,y随着x的增大而增大；在对称轴侧,y随着x的增大而减小,当x=时,函数y的值最小,最小值是,当x，抛物线y=3x2在x轴的方231xy(2)抛物线开口向，除顶点外，抛物线的点都在x轴的方,在对称轴的左侧,y随着x的；在对称轴的右侧,y随着x的,当x=0时,函数y的值最大,最大值是,当x0时,y0.做一做24xy241xy3、不画图象，说出抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向。和1.二次函数y=ax2(a≠0)的图像是一条抛物线.2.图象关于y轴对称,顶点是坐标原点.3.当a0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线上的最低点;当a0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点.2xy2xy当a0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小。当a0时，在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大。当a0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大。当a0时，在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小。当x=-2时，y=4当x=-1时，y=1当x=1时，y=1当x=2时，y=4当x=-2时，y=-4当x=-1时，y=-1当x=1时，y=-1当x=2时，y=-4画一画在同一坐标系中画出函数y=3x2和y=-3x2的图象做一做在同一坐标系中，画出函数y=2x2和y=-2x2的图象，观察并比较这两个图像，它们有什么共同点？又有什么区别？xy=2x2............0-2-1.5-1-0.511.50.5200.524.580.524.58列表参考00.524.580.524.58xy=2x2............0-3-1.5-11.51-223232xy0321.538-6321.538-6221xy22xy232xyxy=x2............0-4-3-2-12314221xy二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线。22xy232xy221xy2xy2xy这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴。这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴。这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴。对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。抛物线y=x2y=-x2顶点坐标对称轴位置开口方向极值2xy2xy1、观察右图，并完成填空。（0，0）（0，0）y轴y轴在x轴的上方（除顶点外）在x轴的下方（除顶点外）向上向下当x=0时，最小值为0。当x=0时，最大值为0。二次函数y=ax2的性质１、顶点坐标与对称轴２、位置与开口方向３、增减性与极值2、练习2在同一坐标系内，抛物线y=x2与抛物线y=-x2的位置有什么关系？如果在同一坐标系内画函数y=ax2与y=-ax2的图象，怎样画才简便？在同一坐标系内，抛物线y=x2与抛物线y=-x2的位置有什么关系？如果在同一坐标系内画函数y=ax2与y=-ax2的图象，怎样画才简便？答：抛物线抛物线y=x2与抛物线y=-x2既关于x轴对称，又关于原点对称。只要画出y=ax2与y=-ax2中的一条抛物线，另一条可利用关于x轴对称或关于原点对称来画。例1、已知二次函数y=ax2(a≠0)的图像经过点(-2,-3).(1)求a的值，并写出这个二次函数的解析式.(2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置.驶向胜利的彼岸练习一、已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上。（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得-8=a(-2)2,解出a=-2,所求函数解析式为y=-2x2.（2）因为，所以点B（-1，-4）不在此抛物线上。2)1(24（3）由-6=-2x2,得x2=3,所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是3x)6,3()6,3(与y=-2x233)6,3()6,3(驶向胜利的彼岸练习二、若抛物线y=ax2（a≠0），过点（-1，3）。（1）则a的值是；（2）对称轴是，开口。（3）顶点坐标是，顶点是抛物线上的。抛物线在x轴的方（除顶点外）。1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.2.当a0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展；当a0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.3.当a0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.当a0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.二次函数y=ax2的性质2axy2axy例1在同一直角坐标系中，画出函数的图象．222,21xyxy解：分别填表，再画出它们的图象，如图x···－4－3－2－101234·········x···－2－1.5－1－0.500.511.52·········212yx22yx84.520.5084.520.584.520.5084.520.5－222464－48212yx22yx2yx函数的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？222,21xyxy－222464－48212yx22yx2yx相同点：开口都向上，顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是y轴不同点：a要越大，抛物线的开口越小．你画出的图象与图中相同吗？探究画出函数的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．2222,21,xyxyxyx···－4－3－2－101234·········x···－2－1.5－1－0.500.511.52·········212yx22yx－8－4.5－2－0.50－8－4.5－2－0.5－8－4.5－2－0.50－8－4.5－2－0.5－22－2－4－64－4－8212yx22yx2yx对比抛物线，y=x2和y=－x2.它们关于x轴对称吗？一般地，抛物线y=ax2和y=－ax2呢？一般地，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点．当a0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；当a0时，抛物线的开口向_______,顶点是抛物线的最________点，a越大，抛物线的开口越_________．下高大y＝ax2a0a0图象开口对称性顶点增减性二次函数y=ax2的性质开口向上开口向下a的绝对值越大，开口越小关于y轴对称顶点坐标是原点（0，0）顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减课本P7练习：1、2、3、4作业：？a，x2y0aaxy、2还是小于零是大于零问交点的横坐标大于零与双曲线已知抛物线练习二1、二次函数的一般形式是怎样的？y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)2.下列函数中,哪些是二次函数？①2xy42312xxy⑤12xxy④2xxy③xxy12②xy=x2y=-x2..................0-2-1.5-1-0.511.50.52函数图象画法列表描点连线00.2512.2540.2512.254描点法用光滑曲线连结时要自左向右顺次连结0-0.25-1-2.25-4-0.25-1-2.25-4注意：列表时自变量取值要均匀和对称。2xy2xyZx.xk议一议(2)图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?(4)当x0时,随着x的值增大,y的值如何变化？当x0呢？(3)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的？观察图象,回答问题：2xyxyO(1)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?