天津大学 管理数学基础 杜纲 第一章 矩阵理论

第一章矩阵理论(MatrixTheory)第一节线性变换及其矩阵表示一、线性空间与线性变换1、线性空间及其基组空间：赋予了某种数学结构的非空集合，记为X。其中的“数学结构”可为定义了元素间的运算、距离。集合X＝{x|x满足的条件}。封闭：X中任元素经某运算后的结果仍属于X，则称X对该运算封闭。（如：实数集R，任x1、x2∈R，x1+x2∈R，称R对加法封闭。实际上R对乘法也封闭。）不封闭的例子如图：线性空间：即赋予了线性运算的非空集合。具体定义为：设X是一个非空集合，K是数域（K为实数域R或复数域C），若定义X中二元素之间的加法运算以及数域K中的数与X中元素之间的数乘运算，并满足下列条件：加法运算“+”满足：对任意x、y∈X，x+y∈X，且(1)交换律：x+y=y+x；(2)结合律：对任意z∈X，(x+y)+z=x+(y+z)；(3)有零元：存在0∈X，使得对一切x∈X，有x+0=x（0称X的零元素）；(4)有负元：对任意x∈X，存在y∈X，使x+y=0（y称为x的负元素）。数乘运算“”满足：对任意α∈K，x∈X，αx∈X，且(1)对任意的β∈K，α(βx)=(αβ)x；(2)1x=x；(3)对任意的y∈X，α(x+y)=αx+αy；(4)对任意的β∈K，(α+β)x＝αx+βx。则称X为数域K上的线性空间。当K是实数域R时，X称实线性空间；当K是复数域C时，X称复线性空间。X上的加法运算和数乘运算统称为线性运算。nnRRnn由线性代数的知识我们可以得到，维向量的全体，在通常定义的向量加法和实数与向量的数乘运算下，构成实线性空间。再看如下的例子：例1：判断下列集合对于所指运算是否为（上的）线性空间。(1)分量之和等于0的维向量的全体，对向量加和数乘；(2)分量之和等于1的维向量的全体，对向量加和数乘。1111111111(1)()|0()()0()08(2)nTnniiTnnnnniiiiiiiTnnniiiiXxxxRxxyXxyxyxyxyxyxyXRxxxxxxRXXX解：记，，则任，，，，其分量和对任，，，分量和。即对加法和数乘封闭。易证满足个条件，为线性空间。111()|11(),nTnniiTnXxxxRxxxxXXX记，，由于对任，，，即对数乘运算不封闭，不是线性空间。111111112[]nnnnnnnnXnxxxxXxxxxxxXXnxR线性空间中的一系列定义：基：如果线性空间中有个元素，满足：（），线性无关；（）中任一元素都可以由它们线性表示，即，则称，为的一组基。维数：中基组中元素的个数。坐标：表出系数，，称为在这组基下的坐标，记为，，。注：由于中线性相关、无关、组合只涉及线性运算，故对线性空间也适用。12111112(100)(010)(001)()[][]nTTTnnnnnnnnReeeRxRxxxxxexexxxee例：中的，，，，，，，，，，，，构成中的一组基，对于任意的，其中，都有。记坐标为，故称为坐标基。1111111111[][][nnnnnnnnnXpppp设和是线性空间中两组不同的基，则其中一组基可由另一组基线性表出，设，。即：111111111][]nnnnnnnnnnppppppPPppPP，简记为＝称由到的过渡矩阵。可证，过渡矩阵是可逆的。22212111222()3()(0)()[TTXYTXYTXXTXTxyTxTyXYTRRxRxxxTxxxyTxyTxy、线性变换及其矩阵表示变换（算子）：非空集合到的映射，记：（若：，则称为上的变换。）线性变换：满足线性性的变换：（注：这里与为线性空间）例：考虑变换：，对任，，，，则有：111122112]0(0)(0)TTxyxyTxyxyTxTyTR，，是上的线性变换。111111111:[][]nmmmnnmnmTTXYXYnmXYTaaTaa的矩阵表示：设映射，其中与维数分别为和，和分别是和中的一组基，又设，，1111111111[][]nnmmmnnmmnaaTTaaaaAaaTAATKMOMLKMOML即：，记，则上式简记为，称为线性变换关于基、的一个矩阵表示（简称矩阵）。11111111:[]nnnnnnnnTXXXnXTTaaTaa思考：若映射为，的维数为，是中的一组基，则的矩阵表示应为：，，即：1111111111[][]nnnnnnnnnnaaTTaaaaAaaTAATKMOMLKMOML，记，则上式简记为，称为线性变换关于基的一个矩阵表示。二、方阵的特征值与特征向量121AnnxAxxAxAxAkkxxxAx方阵的特征值：设为阶方阵，如果与维非零的列向量，使等式成立，则称数为方阵的一个特征值。特征向量：非零列向量称为的相应于（属于）特征值的特征向量。特征向量的性质：(1)如果是的相应于的特征向量，那么对任意非零数，也是相应于的特征向量；(2)如果和都是的相应于的特征向量，那么2x也是相应于的特征向量。即对加法和数乘运算封闭。()00||0AxxEAxxxEAEA由于可以改写为这可以看作是以为变量的齐次线性方程组。它有非零解的充要条件是系数行列式等于，而是特征向量为非零，故必满足：于是有以下定义：特征矩阵：||||0EAEAAAAxA特征多项式：特征方程：由上述分析可知，方阵的特征值是的特征方程的根（因此特征值又称特征根）。的相应于的特征向量是以的特征矩阵为系数阵的齐次线性方程组的解。21234110430102110||430(2)(1)010221AAEAA例：求方阵的特征值与特征向量。解：的特征方程为求出的特征值为：＝，＝＝1121212(2)030400EAxxxxxx。对＝，解齐次线性方程组，即111112312121320012(0)1()0204200121kkEAxxxxxxx求出它的基础解系：＝，相应于特征值＝的特征向量是。对＝＝，解齐次线性方程组，即求出它的基础解系：＝23222,1(0)kk相应于＝＝的特征向量是。111111111101sssssssAxxxxsssskxkxkx定理：若，，是方阵的互异的特征值，，，是分别相应于它们的特征向量，则，，线性无关。证：对使用数学归纳法。当，因为任一个非零向量线性无关，所以定理成立。设对个互异的特征值定理成立，要证对个互异的特征值定理也成立，为此令，（）111111111111111102(1)(1)03(3)(2)()()0(1sssssiiisssssssssssSiskxkxAxxisAkxkxkxkxkxxxi在上式两边同乘以得，（）因为，，，用左乘式得，（）将、二式两边分别相减得由于，，线性无关，且，1111)00sssskkkxx，故必有，从而。即，，线性无关。三、相似矩阵及其性质1111111111111[][]()[()]()(nnnnnnnnnTXXTXXPPTBABTTPTPTppppTpT、相似矩阵：考虑：，易知在不同基组下的表示矩阵是不同的。设＝和＝是线性空间的两组不同的基，＝，为过渡矩阵。关于、的矩阵分别为和，则有：，，线性11111111)()()()nnnnnnnnnpTpTpTTTPTPAPPAPBPAPAB，，，，。称满足此关系式的、矩阵为相似的。112ABnnPBPAPABABPAPAPTXTX相似矩阵：设、均为阶方阵，若存在阶可逆矩阵，使则称相似于，记为。这时可称为对施行相似变换，其中称为相似变换阵。定理：设是线性空间上的线性变换，则在两组不同基下的表示阵是相似的。111123()1||||ABABABABABPBPAPABEBEPAPPEAPPP、相似矩阵的性质：若，则与有相同的行列式、秩和特征值。定理：设方阵与相似，则与有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。证：因为，所以存在可逆矩阵，使得于是与的特征矩阵有如下关系：等式两端取行列式，显然，于是1||||||||EBPEAPEAABABgg，即与有相同的特征多项式，从而与有相同的特征值。-1111()(1)2()11knnnEAkEAAkDknAEAEAnDnC2一、方阵的行列式因子、不变因子、初等因子、行列式因子（）定义：中所有非零级子行列式的首项（即最高次项）系数为的最大公因式称为的（简称的）级行列式因子（因式），记为，，（）计算步骤：根据定义，先由得到特征矩阵；然后计算的级子式（只有一个），即为；再计算所有的级子式（有()个），取其中首项系数为的11()()nDD最大公因式，即为；依此类推，直至得到。第二节方阵在相似变换下的标准形210502100221212212AAEA例：求的各级行列式因子。解：，考虑其所有的3级子式（只有一个）：3332112)2()2)1022121()111()1DDEAD＝(所以(。考虑其所有的级子式，因为有一个级子式＝，所以。考虑其所有的级子式，因为中有元素，所以。111214()()()(1)1()|()(()())1niiiiiEAddEAdinddddinEAO、不变因子（）定义我们先看一个定理：定理：总可经初等变换化为的形式（称为在初等变换下的标准形），其中，，的首项系数为，且即可被整除，，，。可以证明，在初等变换下的标准()(1)idin形中，对角元，，不会随所采用的初等变换的不同而改变。1121()()()(1)1()|()||()()()ninnEAdddindddddEAAEAO由以上定理我们可以得到不变因子的定义：设在初等变换下的标准形为，其中，，首项系数为，且，称，，为的（简称的）不变因子。可以证明，在初等变换下秩与行列式因子不变，由此不难111()()2()()()kkkDdknDdD得出不变因子与行列式因子间的关系：＝，，，，。111()()()()()()()nnkkkEAddddEAADdDO（2）计算方法：方法一：由定义，将经初等变换成的形式，其中的，，满足定义条件，即为的不变因子。具体算例见书13页例1.11。方法二：先计算出的行列式因子