容斥原理

容斥原理主讲刘欢例1一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。解37＋42－48＝31答：语文、数学作业都完成的有31人在一次数学、语文测试中，有22人至少有一科得优秀，其中数学得优秀有15人，语文得优秀的有18人。两科都得优秀的有多少人？在由30人组成的运动员中，每人至少会摔跤或击剑中的一项，其中有22人会摔跤，18人会击剑。既会击剑又会摔跤的有多少人？例2、学校四年级开设了数学和科技两个兴趣小组，参加兴趣数学小组的有16人，参加科技小组的有20人，这两个兴趣小组都参加的有5人。这两个兴趣小组共有多少人？16+20-5=31（人）答：这两个兴趣小组共有31人。同学们去野外采集昆虫和花草标本，采集昆虫标本的有32人，采集花草标本的有28人，这两种标本都采集的有16人。去采集标本的一共有多少人？例3某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。问有多少同学两题都答错了？只答对第一题的有：25－15＝10（人）至少有一题答对的人数：10＋23＝33（人）两题都答错的有：36－33＝3（人）答：3名同学两题都答错了。某旅行社有28人，其中会英语的有22人，会法语的有18人，两样都会的有15人，两样都不会的有多少人？例4一个翻译社有40人，其中会英语的有24人，会德语的有18人，两中语言都不会的有4人，两种语言都会的有多少人？至少会一种的：40–4=36（人）两种都会的有：24+18-36=6（人）答：两种都会的有6人。一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人，两样都会的有多少人？一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种象棋都不会下的有12人。问这两种象棋都会下的有多少人？例5大长方形的长和宽分别是8厘米和5厘米，小长方形的长和宽分别是6厘米和4厘米。将这两个长方形像下图一样叠放在桌面上，已知重叠部分长方形的长和宽分别是3厘米和2厘米，那么这两个长方形盖住桌面的面积是多少？8×5+6×4－3×2=58（平方厘米）答：两个长方形盖住桌面的面积是58平方厘米如图，两个正方形的边长分别为5厘米、4厘米，叠放时重叠部分也是一个正方形，边长是2厘米。两个正方形盖住桌面的面积是多少平方厘米？下图中两个长方形盖住桌面的面积是58平方厘米，大长方形的长和宽分别是10厘米和5厘米，小长方形的长和宽分别是6厘米和3厘米。重叠部分的面积是多少？例6光明小学举办书法展览.学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法共有多少幅？解：（24＋22－10）÷2＝18（幅）答：其他年级参展的作品共有18幅.科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有110件不是一年级的，有100件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32件。其他年级参展的作品共有多少件？六一儿童节那天，学校画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有25幅不是三年级的，有19幅不是四年级的，三、四年级参展的作品共有8幅，其它年级参展的图画共有多少幅？例7：某班小学生订了语文、数学、作文指导报中至少一种.订语文报的有17人，订数学报的有18人，订作文指导报的有15人，同时订语文报和数学报的有6人，同时订数学报和作文指导报的有6人，同时订语文报和作文指导报的有5人，三种报都订的有2人.（1）只订一种报纸的分别有多少人？（2）订语文报、数学报而没有订作文指导报的有多少人？（3）这个班共有多少人？分析与解：我们将题中的条件和问题用下图来表示.题中“三种报都订的有2人”说明同时订语文报和数学报而没有订作文指导报的有6－2＝4（人），同时订语文报和作文指导报而没有订数学报的有5－2＝3（人），同时订数学报和作文指导报而没有订语文报的有6－2＝4（人）.•（1）只有语文报的有17－4－2－3＝8（人），同理，只订数学报的有8人，只订作文指导报的有6人.•（2）订语文报、数学报而没有订作文指导报的有8＋4＋8＝20（人）.•（3）这个班共有8＋4＋2＋3＋8＋4＋6＝35（人）.•答：只订语文报的有8人，只订数学报的有8人，只订作文指导报的有6人；订语文报、数学报而没有订作文指导报的有20人；这个班共有35人.作文指导报语文报数学报4638248四年级（1）班有学生若干，每人在暑假里都参加训练队，其中参加足球队有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有34人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人，排球、游泳都参加的有14人，三队都参加的有7人。那么四年级（1）班有多少人？家庭作业：1、学校有两个特长班，1班有42人参加，每人至少参加一个特长班，参加语文训练的有30人，参加思维训练的有26人。两个特长班都参加的有多少人？2、四（3）班有55人，有15人参加科技兴趣小组，有22人参加数学兴趣小组，这两个兴趣小组都参加的有6人。问：这两个兴趣小组都没参加的有多少人？3、在1——100中，既不是5的倍数也不是6的倍数，总共有多少个？4、四个正方形如下图那样叠放在桌面上，每个正方形的顶点恰好是另一个正方形的中心，且每边互相平行，每一个正方形的周长是8厘米这四个正方形盖住桌面的面积是多少平方厘米？