大学物理-高斯定理

大学物理学电子教案静电场的性质与计算6-3电场线高斯定理①电场线上任一点的切线方向给出了该点电场强度的方向；②某点处电场线密度与该点电场强度的大小相等。1、定义在电场中画一组带箭头的曲线,这些曲线与电场强度之间具有以下关系:EE6-3电场线高斯定理一、电场线电场线密度:经过电场中任一点，作一面积元dS，并使它与该点的场强垂直，若通过dS面的电场线条数为dN，则电场线密度SNEdd＝可见,电场线密集处电场强度大,电场线稀疏处电场强度小2、几种典型的电场线分布+正点电荷负点电荷+等量异号点电荷带电平行板电容器的电场+++++++++不等量异号点电荷的电场线2q+q3、电场线的性质•电场线总是起始于正电荷（或来自于无穷远），终止于负电荷（或终止于无穷远）•任何两条电场线都不能相交。•非闭合曲线4、关于电场线的几点说明•电场线是人为画出的，在实际电场中并不存在；•电场线可以形象地、直观地表现电场的总体情况;•电场线图形可以用实验演示出来。1、定义在电场中穿过任意曲面的电场线的总条数称为穿过该面的电通量，用表示。(1)匀强电场中的电通量E与平面S垂直时ESe＝E与平面S有夹角θ时cosESe＝引入面积矢量neSSeΦ＝ESeSSneE二、电场强度通量(2)非均匀电场的电通量SdEde将曲面分割为无限多个面元,由于面元很小，所以每一个面元上场强可以认为是均匀电场,dS面元dSSndSESeSdE2、电通量的正负•闭合曲面:规定取外法线方向(自内向外)为正。因此有:neEnene•非闭合曲面:电通量的结果可正可负，完全取决于面元与间的夹角:dSE,0,022ee时时电场线由内向外穿出:电场线由外向内穿入:0,e为正0,e为负整个闭合曲面的电通量为=deSES1、内容iiSeqSdE012、静电场高斯定理的验证静电场中通过一个任意闭合曲面的电通量值等于该曲面所包围的所有电荷电量的代数和除以ε0，与闭曲面外的电荷无关．iq数学表达式:①包围点电荷的同心球面S的电通量都等于0qε②包围点电荷的任意闭合曲面S的电通量都等于0qε高斯简介三、高斯定理对于包围点电荷q的任意封闭曲面qSS电场线+qrSS'可在外或内作一以点电荷为中心的同心球面,使内只有点电荷，如图所示。SS由电场线的连续性可知，穿过S的电场线都穿过同心球面，故两者的电通量相等，均为。S0qε结论说明，单个点电荷包围在任意闭合曲面内时，穿过该闭曲面的电通量与该点电荷在闭曲面内的位置无关。由于电场线的连续性可知，穿入与穿出任一闭合曲面的电通量应该相等。所以当闭合曲面无电荷时，电通量为零。③不包围点电荷q的任意闭合曲面S的电通量恒为零．④点电荷系的电通量等于在高斯面内的点电荷单独存在时电通量的代数和。利用场强叠加原理Sq1kqkq2q1q2kqnq设闭合曲面S包围多个电荷q1-qk，同时面外也有多个电荷qk+1-qn1niiE=E通过闭合曲面S的电通量为1=ddneiSSiESES根据③，不包围在闭合曲面内的点电荷对闭合曲面的电通量恒为0，所以011dieiSkkiiqES0edqEdS当把上述点电荷换成连续带电体时3、关于高斯定理的说明•高斯定理是反映静电场性质（有源性）的一条基本定理；•高斯定理是在库仑定律的基础上得出的，但它的应用范围比库仑定律更为广泛；•通过任意闭合曲面的总通量只取决于面内电荷的代数和，而与面外电荷无关，也与电荷如何分布无关.但电荷的空间分布会影响闭合面上各点处的场强大小和方向；•高斯定理中的电场强度是封闭曲面内和曲面外的电荷共同产生的，并非只有曲面内的电荷确定；•当闭合曲面上各点时，通过闭合曲面的电通量反之,不一定成立.•高斯定理中所说的闭合曲面，通常称为高斯面。0E=0e电通量计算当场强分布具有某种特殊的对称性时，应用高斯定理能比较方便求出场强。求解的关键是选取适当的高斯面。常见的具有对称性分布的源电荷有：球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等无限大平面电荷：包括无限大的均匀带电平面，平板等。轴对称分布：包括无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等；四、高斯定律应用举例步骤：1.进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分析场强分布的对称性，判断能否用高斯定理来求电场强度的分布（常见的对称性有球对称性、轴对称性、面对称性等）；2.根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求：①待求场强的场点应在此高斯面上，②穿过该高斯面的电通量容易计算。一般地，高斯面各面元的法线矢量n与E平行或垂直，n与E平行时，E的大小要求处处相等，使得E能提到积分号外面；3.计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和，最后由高斯定理求出场强。高斯定理的应用举例1.均匀带电球面的电场2.均匀带电球体的电场3.均匀带电无限大平面的电场5.均匀带电无限长圆柱面的电场条件：电荷分布具有较高的空间对称性6.均匀带电球体空腔部分的电场高斯定理的应用4.均匀带电无限长直线的电场rR++++++++++++++++q例1.求球面半径为R,带电为q的均匀带电球面的电场的空间分布。电场分布也应有球对称性，方向沿径向。作同心且半径为r的高斯面.rR时，高斯面无电荷，24drESES0q解：204rqE高斯定理的应用0＝Er0ER+R+++++++++++++++rqrR时，高斯面包围电荷q，Er关系曲线204Rq2r高斯定理的应用204qEr＝结果表明：均匀带电球面外的电场分布象球面上的电荷都集中在球心时所形成的点电荷在该区的电场分布一样。Rr电场分布也应有球对称性，方向沿径向。作同心且半径为r的高斯面2d4SESEr0qa.rR时，b.rR时，解：204rqE高斯定理的应用例2、求球面半径为R,带电为q均匀带电球体的场强分布。电荷体密度为234qR304qrER＝33343qrqrRqq204qEr＝EOrRR30rR4qrER＝20rR4qEr＝E均匀带电球体的电场分布03REr关系曲线2r高斯定理的应用EσE电场分布也应有面对称性,方向沿法向。解：例3求无限大均匀带电平面的电场分布,已知电荷面密度为作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面，底面积为ΔS，两底面到带电平面距离相同。σEΔSEdd2sEEESSS两底圆柱形高斯面内电荷qS由高斯定理得02/ESS高斯定理的应用02E电场强度方向离开平面0电场强度方向指向平面0结果表明：无限大均匀带电平面的电场为均匀电场电场强度的方向垂直于带电平面。两个带等量异号电荷的无限大平行平面的电场设面电荷密度分别为σ1=+σ和σ2=-σ该系统不再具有简单的对称性，不能直接应用高斯定律。然而每一个带电平面的场强先可用高斯定律求出，然后再用叠加原理求两个带电平面产生的总场强。BAC由图可知，在A区和B区场强均为零。C区场强的方向从带正电的平板指向带负电的平板。场强大小为一个带电平板产生的场强的两倍。ABC0022EEEC例4、求电荷线密度为λ的无限长均匀带电直线的场强分布解：以带电直导线为轴，作一个通过P点，高为h的圆筒形封闭面为高斯面S。EhSOrpeSEdS其中上、下底面的电场强度方向与面平行，电通量为零。所以式中后两项为零。2eEdSErh侧面hqi此闭合面包含的电荷总量rE02其方向沿求场点到直导线的垂线方向。正负由电荷的符号决定。EdSEdSEdS侧面上下例5.无限长均匀带电圆柱面的电场。圆柱半径为R，沿轴线方向单位长度带电量为。rl作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面,电场分布也应有柱对称性，方向沿径向。高为l,半径为r侧面SSEddEs（1）当rR时，由高斯定理知lrqE020q0E解：rlE2高斯定理的应用lr（2）当rR时，lqrE02均匀带电圆柱面的电场分布r0EREr关系曲线R021r高斯定理的应用高斯简介高斯（CarlFriedrichGauss1777~1855）德国数学家、天文学家和物理学家。高斯在数学上的建树颇丰，有“数学王子”美称。高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学、天文学和大地测量学等领域的研究，主要成就：(1)物理学和地磁学：关于静电学、温差电和摩擦电的研究、利用绝对单位（长度、质量和时间）法则量度非力学量以及地磁分布的理论研究。(2)光学：利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为和成像，建立高斯光学。(3)天文学和大地测量学中：如小行星轨道的计算，地球大小和形状的理论研究等。(4)试验数据处理：结合试验数据的测算，发展了概率统计理论和误差理论，发明了最小二乘法，引入高斯误差曲线。(5)高斯还创立了电磁量的绝对单位制。小结•电场强度通量高斯定理•电场线•电场强度通量•高斯定律------揭示静电场为有源场•高斯定律的应用适用条件:具有高度对称性的电场解题关键:选取合适的高斯面作业习题册:19-21