等差数列的性质-课件

【思考】【点拨】等差数列性质的应用【名师指津】等差数列的“子数列”性质.若数列{an}是公差为d的等差数列，则（1）{an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列；（2）奇数项数列{a2n-1}是公差为2d的等差数列；偶数项数列{a2n}是公差为2d的等差数列；（3）若{kn}成等差数列，则{}也是等差数列.nka【特别提醒】数列{an}的子数列所具有以上性质的前提是：数列{an}是等差数列.【例1】在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，求a2+a8.【审题指导】由题目可知3+7=4+6=2×5=2+8，结合等差数列的性质:m+n=p+qam+an=ap+aq.可得a3+a7=a4+a6=2a5=a2+a8.【规范解答】因为a3+a7=a4+a6=2a5，所以a3+a7+a4+a6+a5=5a5，所以5a5=450，即a5=90.又因为a2+a8=2a5，所以a2+a8=180.等差数列的有关运算【名师指津】等差数列有关运算的技巧（1）当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…;（2）当等差数列{an}的项数为偶数项时，可设中间两项为a-d，a+d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,这样可减少运算量.【例2】(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数.（2）四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为-8，求这四个数.【审题指导】由题目可知（1）根据三个数的和为9，成等差数列，可设这三个数为a-d，a，a+d（d为公差）；（2）四个数成递增等差数列，且中间两数的和已知，可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d（公差为2d）;也可以设出等差数列的首项和公差，建立基本量的方程组求解.【规范解答】（1）方法一：设这三个数分别为a-d,a,a+d（d为公差）,则（a-d）+a+（a+d）=9，（a-d）·a=6（a+d），解得：a=3,d=-1,故所求三个数为4，3，2.方法二：设数列的首项为a,公差为d,则这三个数分别为a,a+d,a+2d,由已知得：a+（a+d）+（a+2d）=9,a（a+d）=6（a+2d）解得：a=4,d=-1,故这三个数分别为4,3,2.(2)方法一:设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d（公差为2d），依题意，2a=2，且（a-3d）（a+3d）=-8，即a=1，a2-9d2=-8，∴d2=1，∴d=1或d=-1.又四个数成递增等差数列，所以d＞0，∴d=1，故所求的四个数为-2，0，2，4.方法二：若设数列的首项为a，公差为d，则这四个数为a，a+d，a+2d，a+3d,依题意，2a+3d=2，且a（a+3d）=-8，把a=1-d代入a（a+3d）=-8，得（1-d）（1+d）=-8，即1-=-8，化简得d2=4，所以d=2或-2.又四个数成递增等差数列，所以d＞0，所以d=2，所以a=-2,故所求的四个数为-2，0，2，4.32323229d4【典例】（12分）已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a11=-26，a51=54，求a14的值.你能判断该数列从第几项开始为正数吗？【审题指导】题目中给出了等差数列中的两项，列出方程组可先求出a1和d，再求a14.也可利用等差数列的性质求d，再求a14的值.要判断从第几项为正数，可令an＞0解不等式求解.【规范解答】方法一：由等差数列an=a1+（n-1）d列方程组：…………………………………………3分解得…………………………………………6分∴a14=-46+13×2=-20…………………………………8分∴an=-46+(n-1)×2=2n-48………………………10分令an≥0，即2n-48≥0n≥24.∴从第25项开始，各项为正数………………………12分11a10d26a50d54，1a46d2方法二：在等差数列{an}中，根据an=am+（n-m）d，∴a51=a11+40d，…………………………………………3分∴d=×（54+26）=2……………………………6分∴a14=a11+3d=-26+3×2=-20……………………8分∴an=a11+（n-11）d=-26+2(n-11),∴an=2n-48………10分由an≥0得：2n-48≥0,∴n≥24.显然当n≥25时，an＞0.即从第25项开始,各项为正数.………………………12分140【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：1.等差数列{an}的公差d=2,a1=2,则an等于（）(A)2(B)2n-2(C)2n(D)2n+2【解析】选C.an=a1+(n-1)d=2+(n-1)×2=2n.2.x+1与y-1的等差中项为10，则x+y等于（）(A)0(B)10(C)20(D)不确定【解析】选C.(x+1)+(y-1)=2×10=20,所以x+y=20.3.等差数列{an}中,a2010+a2011=888,则a2009+a2012=________.【解析】a2009+a2012=a2010+a2011=888.答案：8884.等差数列{an}中，a2=5,a4=a6+6,则a1=________.【解析】∵2d=a6-a4=-6,∴d=-3.∴a1=a2-d=5-(-3)=8.答案：85.已知等差数列{an}中，a5+a8=18，求a2+a3+a10+a11.【解析】∵{an}是等差数列，∴a2+a3+a10+a11=(a2+a11)+(a3+a10)=2(a5+a8)=2×18=36.