24.2.2切线的判定与性质

人教版九年级上册Ol方法1：直线与圆有唯一公共点方法2：直线到圆心的距离等于半径1.直线和圆有哪些位置关系？2.如图，如何判断直线与圆相切？（1）圆心O到直线l的距离是多少?（2）直线l与⊙O有什么位置关系？（3）由此你发现直线与圆满足什么条件时直线与圆相切？任意画一个⊙O，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA。思考：OlAOA相切(1)直线l经过半径OA的______；(2)直线l______半径0A．这样我们就得到了——切线的判定定理．AOl外端点A垂直于则:直线l与⊙O相切经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。①过半径外端②垂直于这条半径切线如图所示，图中的直线l与圆O相切吗？对切线判定定理的理解：切线必须同时满足两条：①经过半径(直径)外端；②垂直于这条半径．OlOl定理的数学语言表达：∵OA是半径，l⊥OA于A∴l是⊙O的切线OrlA将探究一中的问题反过来，如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么切线l是不是一定垂直于过切点的半径OA呢？OAl猜想：圆的切线垂直于过切点的半径。证明：假设OA与l不垂直，过点O作一条半径垂直于l，垂足为M，根据垂线段最短，则OM＜OA，即圆心O到直线l的距离小于⊙O的半径，因此l与⊙O相交，这与已知条件“直线l与⊙O相切”矛盾，所以OA与l垂直．即圆的切线垂直于过切点的半径．．lOMA定理证明圆的切线垂直于过切点的半径。OAl切线的性质定理：定理的数学语言表达：∵l是⊙O的切线,A是切点∴l⊥OA①过半径外端;②垂直于这条半径.切线①圆的切线;②过切点的半径.切线垂直于半径切线判定定理：切线性质定理：OAl例1如图，已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。求证：直线AB是⊙O的切线。OBAC分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可。证明：连结OC(如图)。∵OA＝OB,CA＝CB,∴AB⊥OC(三线合一)∵OC是⊙O的半径∴AB是⊙O的切线。例2：已知O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。求证：⊙O与AC相切。OABCED证明：过O作OE⊥AC于E。∵AO平分∠BAC，OD⊥ABOD⊥AB于点D∴OE＝OD∵OD是⊙O的半径∴OE也是半径∴AC是⊙O的切线（点到直线的距离等于半径）。OBACOABCED例1与例2的证法有何不同?(1)已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直.简记为：有交点，连半径,证垂直.(2)如果不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段,再证垂线段长等于半径长.简记为：无交点,作垂直,证半径.1、判断：(1)过半径的外端的直线是圆的切线（）(2)与半径垂直的的直线是圆的切线（）(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）×××OrlAOrlAOrlA2、如图,△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于O，OE⊥AC于E,以O为圆心,OE为半径作⊙O.求证：AB是⊙O的切线.FECOBA3、如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在⊙O上,∠CAB=30°.求证:DC是⊙O的切线.ABCDO4、如图，AB、AC分别切⊙O于B、C，若∠A=600，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是（）A、600B、1200C、600或1200D、1400或600BPCAO解析：①P在优弧BC上时②P在劣弧BC上时P课堂小结1.判定切线的方法有哪些？直线l与圆有唯一公共点与圆心的距离等于圆的半径经过半径外端且垂直这条半径l是圆的切线2.常用的添辅助线方法？⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直）⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直，证半径）l是圆的切线l是圆的切线