天津理工大学概率论与数理统计第一章习题答案详解

行井架安装前，安装负责人熟读井架安装使用说明书，熟悉井架安装方案，做好现在准备工作，要求作业人员严格按照厂家说明书步骤进行安装。第一章随机变量习题一系班姓名学号1、写出下列随机试验的样本空间(1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和=1843,,,(2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数=,,1110(3)对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。用“0”表示次品，用“1”表示正品。={111111101101011110111010110001100101010010000,,,,,,,,,,,}(4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标=}|),{(122yxyx(5)将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度=},,,|),,{(1000zyxzyxzyx其中zyx,,分别表示第一、二、三段的长度(6).10只产品中有3只次品，每次从其中取一只(取后不放回)，直到将3只次品都取出，写出抽取次数的基本空间U=“在(6)中，改写有放回抽取”写出抽取次数的基本空间U=解:(1)U={e3，e4，…e10。}其中ei表示“抽取i次”的事件。i=3、4、…、10(2)U={e3，e4，…}其中ei表示“抽取i次”的事件。i=3、4、…2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系(1)||ax与||ax互不相容(2)20x与20x对立事件(3)20x与18x互不相容(4)20x与22x相容事件(5)20个产品全是合格品与20个产品中只有一个废品互不相容(6)20个产品全是合格品与20个产品中至少有一个废品对立事件解:互不相容:AB;对立事件:AB)1(且BA行井架安装前，安装负责人熟读井架安装使用说明书，熟悉井架安装方案，做好现在准备工作，要求作业人员严格按照厂家说明书步骤进行安装。23、设A,B,C为三事件，用A,B,C的运算关系表示下列各事件(1)A发生，B与C不发生-CBA(2)A与B都发生，而C不发生-CAB(3)A,B,C中至少有一个发生-CBA(4)A,B,C都发生-ABC(5)A,B,C都不发生-CBA(6)A,B,C中不多于一个发生-CBCABA(7)A,B,C中不多于两个发生-CBA(8)A,B,C中至少有两个发生-BCACAB4、盒内装有10个球，分别编有1-10的号码，现从中任取一球，设事件A表示“取到的球的号码为偶数”，事件B表示“取到的球的号码为奇数”，事件C表示“取到的球的号码小于5”，试说明下列运算分别表示什么事件.(1)BA必然事件(2)AB不可能事件(3)C取到的球的号码不小于5(4)CA1或2或3或4或6或8或10(5)AC2或4(6)CA5或7或9(7)CB6或8或10(8)BC2或4或5或6或7或8或9或105、指出下列命题中哪些成立，哪些不成立.(1)BBABA成立(2)BABA不成立(3)CBACBA不成立(4)))((BAAB成立(5)若BA，则ABA成立(6)若AB，且AC，则BC成立(7)若BA，则AB成立(8)若AB，则ABA成立7、设一个工人生产了四个零件，iA表示事件“他生产的第i个零件是正品”),,,(4321i，用1A,2A,3A,4A的运算关系表达下列事件.(1)没有一个产品是次品；(1)43211AAAAB(2)至少有一个产品是次品；(2)432143212AAAAAAAAB(3)只有一个产品是次品；(3)43214321432143213AAAAAAAAAAAAAAAAB行井架安装前，安装负责人熟读井架安装使用说明书，熟悉井架安装方案，做好现在准备工作，要求作业人员严格按照厂家说明书步骤进行安装。3(4)至少有三个产品不是次品4)432143214321432143214AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAB8.设E、F、G是三个随机事件，试利用事件的运算性质化简下列各式：(1)FEFE(2)FEFEFE（3）GFFE解:(1)原式EFFFEFEEE(2)原式EFFEFFEFEFE(3)原式GEFGFFFGEFE9、设BA,是两事件且7060.)(,.)(BPAP，问(1)在什么条件下)(ABP取到最大值，最大值是多少？(2)在什么条件下)(ABP取到最小值，最小值是多少？解:(1)6.0)(,ABPBA(2)3.0)(,ABPSBA10.设事件A，B，C分别表示开关a，b，c闭合，D表示灯亮，则可用事件A，B，C表示：(1)D=ABC；(2)D=CBA。abc11、设A,B,C是三事件，且81041)(,)()(,)()()(ACPBCPABPCPBPAP，求A,B,C至少有一个发生的概率.解:)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP8500810414141ABCAB0)()(0ABPABCP0)(ABCP12.(1)设事件A,B的概率分别为51与41，且A与B互斥，则)(BAP=51.行井架安装前，安装负责人熟读井架安装使用说明书，熟悉井架安装方案，做好现在准备工作，要求作业人员严格按照厂家说明书步骤进行安装。4(2).一个盒中有8只红球，3只白球，9只蓝球，如果随机地无放回地摸3只球，则取到的3只都是红球的事件的概率等于___14285____。(3)一袋中有4只白球，2只黑球，另一只袋中有3只白球和5只黑球，如果从每只袋中各摸一只球，则摸到的一只是白球，一只是黑球的事件的概率等于___1324___。(4).设A1,A2,A3是随机试验E的三个相互独立的事件，已知P(A1)=,P(A2)=，P(A3)=，则A1,A2,A3至少有一个发生的概率是1(1)(1)(1).(5)．一个盒中有8只红球，3只白球，9只蓝球，如果随机地无放回地摸3只球，则摸到的没有一只是白球的事件的概率等于__3457____。13、在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任取200个，求(1)恰有90个次品的概率；(2)至少有2个次品的概率.解:2001500110110090400)1(CCCP2000150019911001400200150020011001)2(CCCCCP14、两射手同时射击同一目标，甲击中的概率为0.9，乙击中的概率为0.8，两射手同时击中的概率为0.72，二人各击中一枪，只要有一人击中即认为“中”的，求“中”的概率.解:A“甲中”B“乙中”98.072.08.09.0)()()()(ABPBPAPBAP15、8封信随机地投入8个信箱(有的信箱可能没有信)，问每个信箱恰有一封信的概率是多少？解:888!)(AP16、房间里有4个人，问至少有两个人的生日在同一个月的概率是多少？解：设所求事件A“至少有两个人的生日在同一个月的”A“任何两个人的生日都不在同一个月”427.0121)(1)(,12)(44124412AAPAPAAP行井架安装前，安装负责人熟读井架安装使用说明书，熟悉井架安装方案，做好现在准备工作，要求作业人员严格按照厂家说明书步骤进行安装。517、将3个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率各是多少？解：3个球放入4个杯子中去共有34种放法，设iB表示杯子中球的最大个数为n的事件),,(321n,1B表示每只杯子最多只能放一个球，共有34A种方法，故8343341ABP)(;2B表示有一只杯子中放2个球，先在3个球中任取2只放入4个杯子中的任意一只，共有423C种方法，剩下的一个球可以放入剩下的3只杯子中的任一只，有3种放法，故2B包含的基本事件数为363423C，于是16943632)(BP;3B表示有一只杯子中放3个球，共有4种方法，故1614433)(BP.18.设一个质点等可能地落在xoy平面上的三角形域D内(其中D是x=0，y=0，x+y=2所围成的)，设事件A为：质点落在直线y=1的下侧，求P(A)。y21o2xD143222121211)()(DDAP19、(1)已知504030.)(,.)(,.)(BAPBPAP，求)|(BABP(2)已知213141)|(,)|(,)(BAPABPAP，求)(BAP解:(1)250.)|(BABP(2)31)(BAP行井架安装前，安装负责人熟读井架安装使用说明书，熟悉井架安装方案，做好现在准备工作，要求作业人员严格按照厂家说明书步骤进行安装。620、一批产品共100个,其中有次品5个，每次从中任取一个，取后不放回,设iA(i=1，2，3，)表示第i次抽到的是次品，求：99412AAP，999512AAP，99512AAP999412AAP，983213AAAP，9894213AAAP21、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率为95%，乙厂的合格率是80%。若用事件A、A分别表示甲、乙两厂产品，B表示合格品。试写出有关事件的概率.(1))(AP70%(2))(AP30%(3))|(ABP95%(4))|(ABP80%(5))|(ABP5%(6))|(ABP20%22、袋中有10个球，9个是白球，1个是红球，10个人依次从袋中各取一球，每人取一球后，不再放回袋中，问第一人，第二人，……，最后一人取得红球的概率各是多少？解:解：设iA第i个人取得红球的事件),,,(1021i,则iA为第i个人取得白球的事件，显然101)(1AP,)(212121212AAAAAAAAA10191109)|()()()(121212AAPAPAAPAP同理101!10!9)()(1092110AAAAPAP23、某种动物由出生活到20年以上的概率为0.8，活25年以上的概率为0.4，问现年20岁的这种动物活支25岁以上的概率是多少？解：设A为{由出生活到20岁}的事件，B为{由出生活到25岁}的事件则所求事件的概率为)()()|(APABPABPBABAB行井架安装前，安装负责人熟读井架安装使用说明书，熟悉井架安装方案，做好现在准备工作，要求作业人员严格按照厂家说明书步骤进行安装。7218040..)()()()()|(APBPAPABPABP24、十个考签中四个难的，三人参加抽签，(不放回)甲先、乙次、丙最后，记事件A,B,C分别表示甲、乙、丙各抽到难签，求)(),(),(),(ABCPBAPABPAP.解：152)(,104)(ABPAP154)(BAP301)(ABCP25.设0P(C)1，试证：对于两个互不相容的事件A，B，恒有P{(AB)C}=P{AC}+P{BC}证:CPCBAPCBAPCPBCACPCPBCPACPCBPCAP26、设事件A与B互斥，且10)(BP，证明)()()|(BPAPBAP1.证明：由于AB，故BABBAA)()1)(()(1)()()()|(BPBPAPBPBAPBAP27、一批零件为100个，次品率为10%，每次从中任取一个，不再放回，求第三次才能取得正品的概率是多少？解：设iA为{第i次取到正品}，)3,2,1(i由于次品率为10%，故100个零件约有90