二次求导法解高考导数题

1二次求导法解高考导数题胡贵平（甘肃省白银市第一中学，甘肃白银730900）导数是研究函数性质的一种重要工具，用导函数判断原函数的单调性，如果导函数大于零，则原函数为增，导函数小于零，则原函数为减.而当导数与0的大小确定不了时，对导函数或导函数中的一部分再构造，继续求导，也就是二次求导，不失为一种妙法，下面我们结合高考题来看看二次求导数题中的应用.１（2017年高考课标Ⅱ卷（文）（21））设函数2()(1)exfxx.（I）讨论()fx的单调性；(II)当0x时，()1fxax，求a的取值范围.解：（I）略.(II)当0x时，()1fxax等价于2(1)1xaxxe.若=0x，显然成立，aR.若0x时，2(1)1xxeax，设2(1)1()xxegxx，2232222(1)(1)1(1)1()xxxxxexexxexxxegxxx，令32()(1)1xhxxxxe，32()(4)0xhxexxx，所以()hx在(0,)x内是减函数，易知(0)=0h，所以当(0,)x时，()0hx，即()0gx，所以()gx在(0,)x上单调递减，所以22022000(1)1(101(1)1limlim(1)1xxxxxxxeexexexx）20(21)=1xxxxe，所以1a，综上所述，a的取值范围是1+，.２（2016年高考课标Ⅱ卷（文）（20））已知函数()(1)ln(1)fxxxax.（I）当4a时，求曲线()yfx在1,(1)f处的切线方程；2(II)若当1,x时，()0fx＞，求a的取值范围.解：（I）略.(II)当(1,)x时，()0fx等价于(1)ln1xxax，设(1)ln()1xxgxx，2221(ln)(1)(1)ln2ln1()(1)(1)xxxxxxxxxgxxxx，令2()2ln1hxxxx，()22ln22(ln1)0hxxxxx，所以()hx在1,x内是增函数，易知(1)=0h，所以当1,x时，()0hx，即()0gx，所以()gx在1,x上单调递增，所以1111(1)ln(1)ln(11)ln1(1)limlim(1)lnln211xxxxxxxxxxxxxxx，所以2a，即a的取值范围是,2.3（2010年高考安徽卷（理）（17））设a为实数，函数22,xfxexaxR.（Ⅰ）求fx的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当a＞ln21且x＞0时，xe＞221xax.解：（I）略.（Ⅱ）设221xgxexax，则22xgxexa，继续对gx求导得2xgxe，当x变化时gx，gx变化如下表0,ln2ln2ln2,gx0gx减极小值增由上表可知ln2gxg，而ln2ln22ln2222ln222ln21geaaa，由a＞ln21知ln20g，所以0gx，即gx在区间0,上为增函数.3于是有(0)gxg，而02002010gea，故0gx，即当a＞ln21且x＞0时，xe＞221xax.4（2008年高考湖南卷（理）（21））已知函数22()ln(1)1xfxxx.(I)求函数()fx的单调区间；（Ⅱ）若不等式1(1)naen对任意的N*n都成立（其中e是自然对数的底数）.求a的最大值.解：（I）函数()fx的定义域是(1,)，22222ln(1)22(1)ln(1)2()1(1)(1)xxxxxxxfxxxx.设2()2(1)ln(1)2gxxxxx，则()2ln(1)2gxxx.令()2ln(1)2hxxx，则22()211xhxxx.当10x时，()0hx，从而()hx在(1,0)上为增函数，当0x时，()0hx，从而()hx在(0,)上为减函数.所以h(x)在0x处取得极大值，而(0)0h，所以()0(0)gxx，函数()gx在(1,)上为减函数.于是当10x时，()(0)0gxg，当0x时，()(0)0gxg.所以当10x时，()0,fx()fx在(1,0)上为增函数.当0x时，()0,fx()fx在(0,)上为减函数.故函数()fx的单调递增区间为(1,0)，单调递减区间为(0,).（Ⅱ）略.