二次函数与相似三角形结合问题

高效学习快乐成长成就梦想琢玉教育地址:斜土路780号1号楼2楼琢玉教育个性化辅导讲义教师姓名学科上课时间年月日学生姓名年级讲义序号课题名称教学目标1.会根据题目条件求解相关点的坐标和线段的长度；2.掌握用待定系数法求解二次函数的解析式；3.能根据题目中的条件，画出与题目相关的图形，继而帮助解题；教学重点难点1.体会利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法；2.会应用分类讨论的数学思想和动态数学思维解决相关问题。课前检查上次作业完成情况：优□良□中□差□建议_______________________________教学内容知识结构：一.二次函数知识点梳理：下图中0a二.特殊的二次函数：下图中0a高效学习快乐成长成就梦想琢玉教育地址:斜土路780号1号楼2楼三．二次函数背景下的相似三角形考点分析：1.先求函数的解析式，然后在函数的图像上探求符合几何条件的点；2.简单一点的题目，就是用待定系数法直接求函数的解析式；3.复杂一点的题目，先根据图形给定的数量关系，运用数形结合的思想，求得点的坐标，继而用待定系数法求函数解析式；4.还有一种常见题型，解析式中由待定字母，这个字母可以根据题意列出方程组求解；5.当相似时：一般说来，这类题目都由图像上的点转化到三角形中的边长的问题，再由边的数量关系转化到三角形的相似问题；6.考查利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法。例题选讲：例1.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（2，6），且△ABE与△ABC的面积之比为3∶2．（1）求直线AD和抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴与x轴相交于点F，点Q为直线AD上一点，且△ABQ与△ADF相似，直接写出．．．．点Q点的坐标。练习1.如图，直线nxy2(n＞0)与轴轴、yx分别交于点BA、,16OABS，抛物线)0(2abxaxy经过点A，顶点M在直线nxy2上。（1）求n的值；（2）求抛物线的解析式；（3）如果抛物线的对称轴与x轴交于点N，那么在对称轴上找一点P，使得OPN和AMN相似，求点P的坐标。ABOxyOADCEByxF例1题图高效学习快乐成长成就梦想琢玉教育地址:斜土路780号1号楼2楼例2.已知：矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，6,0A，0,3C，直线34yx与BC边交于D点．（1）求D点的坐标；（2）若抛物线2yaxbx经过A、D两点，求此抛物线的表达式；（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P是对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求出符合条件的点P．方法总结：二次函数背景下相似三角形的解题方法和策略：1.根据题意，先求解相关点的坐标和相关线段的长度；2.待定系数法求解相关函数的解析式；3.相似三角形中，注意寻找不变的量和相等的量（角和线段）；4.当三角形的三边不能用题目中的未知量表示时，注意利用相似三角形的转化求解；5.根据题目条件，注意快速、正确画图，用好数形结合思想；6.注意利用好二次函数的对称性；7.利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解都是常用方法。高效学习快乐成长成就梦想琢玉教育地址:斜土路780号1号楼2楼1.已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数cbxxy231的图像经过点A（－1，1）和点B（2，2），该函数图像的对称轴与直线OA、OB分别交于点C和点D．（1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴；（4分）（2）求证：∠ABO=∠CBO；（4分）（3）如果点P在直线AB上，且△POB与△BCD相似，求点P的坐标．（6分）2.如图，抛物线215222yxx与x轴相交于A、B，与y轴相交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D。点P是直线CD上一点，且△PAC与△ABC相似，求符合条件的点P坐标。【参考教法】：一．你能求出题目中点ABCD、、、的坐标吗？（让学生独立计算求解）二．点P的运动有什么特征吗？提示：点P的不同位置相似的情况不一样。三．当△PAC与△ABC相似时：1.需要讨论吗？提示：需要，根据点P的不同位置讨论2.怎么讨论？根据点P的位置，分两大类讨论：（1）当点P在C的左侧，由题意有PCABAC，则分2类讨论：①当△PAC∽△BAC时：ACACPCAB，即553PC；②当△PAC∽△ABC时：，ACABPCAC，即535PC。（2）点P在C的左侧，由题意有ACPABCACBCAB，不存在。3.情况分好了，那怎么计算呢？你算一下。提示：让学生计算。4题目分析完了吧！你算一下每一个情况看看！5以后做题，可以把分类的情况先写下来，之后再计算求解。yxOAB11-1-1高效学习快乐成长成就梦想琢玉教育地址:斜土路780号1号楼2楼6.根据本题的求解你有什么想法没？提示：①二次函数中当点的坐标已知时，注意计算各线段的长度；②注意及时画图，体会数形结合的思想。【满分解答】：当点P在C的左侧，由题意有PCABAC，分两类讨论：若ACACPCAB，即553PC时，△PAC∽△BAC，此时CP=3，P(－3,－2);------2若ACABPCAC，即535PC时，△PAC∽△ABC;此时CP=53，P(－53,－2).---2当点P在C的左侧，由题意有ACPABCACBCAB,不存在。3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数2yaxbxc的图像经过3,0A、1,0B、0,3C三点，没该二次函数图像的顶点为D．（★★★）（1）求这个二次函数的解析式及其图像的顶点D的坐际；（2）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC，其中坐标轴的原点O对应点B，点M的对应点为C?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。【解法点拨】：1.二次函数经过三点，可以根据待定系数法求解函数解析式；（让学生自己计算）2.当△AOM∽△ABC时，字母已经对应好，无需分类讨论，则由△AOM∽△ABC得OAAMABAC，所以924AM。又因为点M在线段AC上，且AC的解析式是：3yx，则可直接计算出点M的坐标。3.注意及时画图，体会数形结合的思想。【满分解答】：(1)由题意得：93003abcabcc解得：123abc高效学习快乐成长成就梦想琢玉教育地址:斜土路780号1号楼2楼∴二次函数的解析式为223yxx顶点G的坐标是1,4(2)根据题意，3OA，4BA，32AC∵△AOM∽△ABC∴OAAMABAC解得：924AM∴AC的解析式是3yx设点M的坐标是,3aa，∴22293324aa解得：12213,44aa∴点M的坐标是39,444.如图，双曲线xy2和xy8在第二象限中的图像，A点在xy8的图像上，点A的横坐标为m（m＜0），AC∥y轴交xy2图像于点C，AB、DC均平行x轴，分别交xy2、xy8的图像于点B、D。（★★★）（1）用m表示A、B、C、D的坐标；（2）若△ABC与△ACD相似，求m的值.【参考教法】：1.题目看完了吧！我们来一起分析一下，先找找题目中的一些已知道条件吧！你试试：提示：①注意题目中有两个反比例函数；②AB、DC均平行x轴，得出点AB、纵坐标相同，点CD、纵坐标相同；③点ABCD、、、的坐标可根据图像用m表示；2.点ABCD、、、的坐标可以用含m的代数式表示吗？你求解一下。提示：让学生求解3.当△ABC与△ACD时：1.两三角形中是否有相等的角？提示：90CABACD2.需要讨论吗？提示：需要，分2类讨论；3.怎么讨论？提示：因为90CABACD，则分两个情况讨论：①当DACB时，得△ABC∽△CAD，则CDACCAAB，直接计算可的m的值；②当DB时，得△ABC∽△CDA，则CAACCDAB，直接计算可的m的值；4.怎么计算？你求解看看。提示：让学生求解。OyxDCBA例2题图高效学习快乐成长成就梦想琢玉教育地址:斜土路780号1号楼2楼5.在分析题目的过程中，还要及时画图哦！【满分解答】：（1）由题意知，m,mA8，m,mB84，m,mC2，m,mD24；（2）①当DACB时，得△ABC∽△CAD，则CDACCAAB,得236m=43m(-3m)所以：4m=16，得m=±2（正数舍去）所以：m=-2②DB时，得△ABC∽△CDA，则CAACCDAB,所以：m=0（舍去）所以若△ABC与△ACD相似，m=-2.5.Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数(0)kykx在第一象限内的图像与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），△BDE的面积为2。（14分）（1）求m与n的数量关系；（3分）（★★★）（2）当tan∠A=12时，求反比例函数的解析式和直线AB的表达式；（6分）（3）设直线AB与y轴交于点F，点P在射线FD上，在（2）的条件下，如果△AEO与△EFP相似，求点P的坐标。（5分）【解法点拨】：1.注意题目中的不变量以及所得到的相关结论：①点DE、的反比例函数的图像上，则它们的坐标乘积相等（引导学生发现）；②第2、3小问中，点ABCDE、、、、的坐标不变；2.第1小问可根据DE、的反比例函数的图像上可得；3.第2小问结合三角比和m与n的数量关系可求的点ABCDE、、、、的坐标；求出点F可得FD//x轴，所以∠EFP=∠EAO。当△AEO与△EFP相似时，则：EAEFAOFP或EAFPAOEF，再根据长度可直接求的得P点坐标。4.注意及时画图，体会数形结合的思想。【满分解答】：（1）∵D（4，m）、E（2，n）在反比例函数(0)kykx的图像上,OABCDxyE高效学习快乐成长成就梦想琢玉教育地址:斜土路780号1号楼2楼∴42mknk，.....................................2分∴2nm...............................................1分(2)∵∠ACB=90°，D（4，m），∴设B（4，y）作EH⊥BC，∵E（2，n），即E（2，2m），∴EH=2，BH=y-2m............................................1分∵△BDE的面积为2，且tan∠A=12，∴12()2212ymBHEH即221ymym............................................1分∴13my，∴B（4,3），E（2,2）............................................1分∵E（2,2）在反比例函数(0)kykx图像上，∴4k,即反比例函数为4yx............................................1分设直线AB的函数解析式为y=kx+b，则3422kbkb，解得：121kb，............................................1分即直线AB的表达式为112yx............................................1分4.112yx与y轴交于点F（0,1），∵D（4,1），∴FD//x轴，.................................1分∴∠EFP=∠EAO∵△AEO与△EFP相似，∴EAEFAOFP或EAFPAOEF....................................