二次函数动点问题初中数学组卷

第1页（共19页）二次函数动点问题初中数学组卷一．解答题（共8小题）1．已知二次函数y=x2与一次函数y=2x+1相交于A、B两点，点C是线段AB上一动点，点D是抛物线上一动点，且CD平行于y轴，求在移动过程中CD的最大值．第2页（共19页）2．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点M是线段OB上的一个动点，过点M作PF∥DE交线段BC于点P，交抛物线于点F，设点M坐标为（m，0），求线段PF的长（用含m的代数式表示）；并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？第3页（共19页）3．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，若点P为线段BC上的任意一点（点P不与B、C重合），M为抛物线上一点，且PM∥y轴．（1）求顶点D的坐标；（2）若点P的坐标为（2，a）时，求△BCM的面积；（3）若△BCM的面积为最大时，求点P的坐标．第4页（共19页）4．如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第5页（共19页）5．如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．（1）求A、B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．第6页（共19页）6．如图，抛物线y=（x+1）2﹣4与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求A、C两点的坐标；（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小，求此时点P的坐标及最小周长；（3）点M是抛物线上一动点，且在第三象限，当四边形AMCO的面积最大时，求出四边形AMCO的最大面积及此时点M的坐标．第7页（共19页）7．如图，直线y=﹣x+3与x轴交于A点，与y轴交于B点，对称轴为x=1的抛物线经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，抛物线与对称轴交于D点，连接CE、CB、BD．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：BD∥CE；（3）在直线AB上是否存在点P，使以B、D、P为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第8页（共19页）8．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D与点C关于抛物线对称轴对称，连接DB、DC，直线PD交直线BC于点P，且直线PD把△BCD分成面积相等的两部分，请直接写出直线PD的解析式．第9页（共19页）二次函数动点问题初中数学组卷一．解答题（共8小题）1．（2012秋•桐城市校级期中）已知二次函数y=x2与一次函数y=2x+1相交于A、B两点，点C是线段AB上一动点，点D是抛物线上一动点，且CD平行于y轴，求在移动过程中CD的最大值．【分析】根据二次函数与一次函数的解析式设出点C、D的坐标，然后然后用点C的纵坐标减去点D纵坐标表示出CD，再根据二次函数的最值问题解答．【解答】解：设C（m，2m+1），D（m，m2），则CD=2m+1﹣m2=﹣m2+2m+1=﹣（m﹣1）2+2，当m=1时，CD有最大值2．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，设出C、D的坐标并列出CD的表达式是解题的关键．2．（2016•延平区一模）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点M是线段OB上的一个动点，过点M作PF∥DE交线段BC于点P，交抛物线于点F，设点M坐标为（m，0），求线段PF的长（用含m的代数式表示）；并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？【分析】（1）通过加方程﹣x2+2x+3=0可得A点和B点坐标，再计算自变量为0时的函数值可得到C点坐标，然后利用对称性可确定抛物线的对称轴；（2）先利用待定系数法求出直线BC的函数关系式为y=﹣x+3，再确定E（1，2），D（1，4），设M（m，0）（0＜m＜3），则可表示出P（m，﹣m+3），F（m，﹣m2+2m+3），接着计第10页（共19页）算出DE=2，PF=m2+3m，然后利用平行四边形的判定方法得到﹣m2+3m=2，再解方程求出m即可．【解答】解：（1）当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0），B（3，0），当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3）；抛物线的对称轴是直线x=1；（2）设直线BC的函数关系式为y=kx+b，把B（3，0），C（0，3）分别代入得，解得k=﹣1，b=3，∴直线BC的函数关系式为y=﹣x+3，∵对称轴是直线x=1，∴E（1，2），∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），设M（m，0）（0＜m＜3），则P（m，﹣m+3），F（m，﹣m2+2m+3），∴线段DE=4﹣2=2，线段PF=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m，∵PF∥DE，∴当PF=ED时，四边形PEDF为平行四边形，即﹣m2+3m=2，解得m1=2，m2=1（不合题意，舍去），∴当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．解决（2）小题的关键是用m点的横坐标分别表示出P、F点的坐标．3．（2015•南沙区一模）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，若点P为线段BC上的任意一点（点P不与B、C重合），M为抛物线上一点，且PM∥y轴．（1）求顶点D的坐标；（2）若点P的坐标为（2，a）时，求△BCM的面积；（3）若△BCM的面积为最大时，求点P的坐标．【分析】（1）直接利用配方法求出D点坐标即可；（2）首先求出直线BC的解析式，再利用点P的坐标为（2，a），进而得出P点坐标以及M点坐标，得出MP的长，求出△BCM的面积；（2）求出△BCM面积的表达式，得出是二次函数，求出其取最大值的条件即可．【解答】解：（1）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，故D（1，4）；第11页（共19页）（2）由抛物线的解析式y=﹣x2+2x+3，∴C（0，3），令y=0，﹣x2+2x+3=0，解得x=3或x=﹣1；∴A（﹣1，0），B（3，0），设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3．∵点P的坐标为（2，a），∴a=1，则P（2，1），当x=2，则﹣x2+2x+3=﹣4+4=3=3，则M（2，3），故PM=3﹣1=2，故S△BCM=S△PMC+S△PMB=PM•（xP﹣xC）+PM•（xB﹣xP）=×2×（2+1）=3；（3）设P（x，﹣x+3），则M（x，﹣x2+2x+3），∴PM=（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x．∴S△BCM=S△PMC+S△PMB=PM•（xP﹣xC）+PM•（xB﹣xP）=PM•（xB﹣xC）=PM．∴S△BCM=（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+．∴当x=时，△BCM的面积最大．此时P（，），【点评】此题主要考查了二次函数综合题以及三角形面积求法，解题过程中有若干解题技巧需要认真掌握：第（3）问中求△BCM面积表达式的方法．4．（2015•黑龙江）如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2．（1）求抛物线的解析式；第12页（共19页）（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据抛物线经过点A（1，0），对称轴是x=2列出方程组，解方程组求出b、c的值即可；（2）因为点A与点C关于x=2对称，根据轴对称的性质，连接BC与x=2交于点P，则点P即为所求，求出直线BC与x=2的交点即可．【解答】解：（1）由题意得，，解得b=4，c=3，∴抛物线的解析式为．y=x2﹣4x+3；（2）∵点A与点C关于x=2对称，∴连接BC与x=2交于点P，则点P即为所求，根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为（3，0），y=x2﹣4x+3与y轴的交点为（0，3），∴设直线BC的解析式为：y=kx+b，，解得，k=﹣1，b=3，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，则直线BC与x=2的交点坐标为：（2，1）∴点P的坐标为：（2，1）．【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式和最短路径问题，掌握待定系数法求解析式的一般步骤和轴对称的性质是解题的关键．第13页（共19页）5．（2011秋•南通期末）如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．（1）求A、B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据直线的解析式y=3x+3，当x=0和y=0时就可以求出点A、B的坐标．（2）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，根据A、B、C三点的坐标利用待定系数法就可以求出抛物线的解析式．（3）将抛物线化为顶点式，求出对称轴对称轴，设出Q点的坐标，利用等腰三角形的性质，根据两点间的距离公式就可以求出Q点的坐标．【解答】解：（1）∵y=3x+3，∴当x=0时，y=3，当y=0时，x=﹣1，∴A（﹣1，0），B（0，3）．（2）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，由题意，得，解得∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3（3）∵y=﹣x2+2x+3，∴y=﹣（x﹣1）2+4∴抛物线的对称轴为x=1，设Q（1，a），第14页（共19页）（1）当AQ=BQ时，如图，由勾股定理可得BQ==，AQ==得=，解得a=1，∴Q（1，1）；（2）如图：当AB是腰时，Q是对称轴与x轴交点时，AB=BQ，∴=解得：a=0或6，当Q点的坐标为（1，6）时，其在直线AB上，A、B和Q三点共线，舍去，则此时Q的坐标是（1，0）；（3）当AQ=AB时，如图：=，解得a=±，则Q的坐标是（1，）和（1，﹣）．综上所述：Q（1，1），（1，0），（1，），（1，﹣）．第15页（共19页）【点评】本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求函数的解析式，等腰三角形的性质及判定，两点间的距离公式的运用．6．（2016春•福州校级期末）如图，抛物线y=（x+1）2﹣4与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求A、C两点的坐标；（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小，求此时点P的坐标及最小周长；（3）点M是抛物线上一动点，且在第三象限，当四边形AMCO的面积最大时，求出四边形AMCO的最大面积及此时点M的坐标．【分析】（1）分别令x=0，y=0即可解决问题．（2）如图1中，连接AC交对称轴于P，此时△PBC周长最小．（3）如图2中，设M（m，m2+2m﹣3），连接OM．根据S四边形AMCO=S△AOM+S△MOC构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．【解答】解：（1）令x=0，得y=﹣3，∴点C坐标（0，﹣3）．令y=0则（x+1）2﹣4=0，解得x=﹣3或1，∴点A坐标（﹣3，0），B（1，0），∴A（﹣3，0），C（0，﹣3）．（2）如图1中，连接AC交对称轴于P，∵PB=PA，∴P