直线和椭圆位置关系

第二课时直线和椭圆的位置关系课堂互动讲练知能优化训练第二课时课堂互动讲练考点突破直线与椭圆的位置关系判断直线与椭圆的位置关系的常用方法为：联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到关于x或y的一元二次方程，记该方程的判别式为Δ，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ0.例1已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围．【思路点拨】有公共点――→转化方程组有解――→消元方程有解――→转化判别式非负―→结果【解】由4x2＋y2＝1y＝x＋m得5x2＋2mx＋m2－1＝0.因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0.解得－52≤m≤52.互动探究在例1条件下，试求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．解：设直线与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，由例1知，5x2＋2mx＋m2－1＝0，由根与系数的关系，得x1＋x2＝－2m5，x1x2＝15(m2－1)．所以d＝x1－x22＋y1－y22＝2x1－x22＝2[x1＋x22－4x1x2]＝2[4m225－45m2－1]＝2510－8m2，所以当m＝0时，d最大，此时直线方程为y＝x.弦长问题弦长的求法：(1)求出直线与椭圆的交点，利用两点间的距离公式求弦长．(2)设而不求得弦长，设直线y＝kx＋m(k∈R，m∈R)，弦长|AB|，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线与椭圆的方程，消去y(或x)得关于x(或y)的一元二次方程，利用弦长公式|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2求解．已知斜率为1的直线l过椭圆x24＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A、B两点，求弦AB的长．【思路点拨】求直线l方程―→构造方程组―→解方程组――→两点间距离公式求弦长例2【解】∵a2＝4，b2＝1，∴c＝a2－b2＝3，∴右焦点F(3，0)，∴直线l的方程为y＝x－3.由y＝x－3，x24＋y2＝1，消去y并整理得5x2－83x＋8＝0.设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝835，x1x2＝85，∴|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝x1－x22＋x1－3－x2＋32＝2x1－x22＝2[x1＋x22－4x1x2]＝28352－4×85＝85，即弦AB的长为85.中点弦问题关于中点的问题一般可采用两种方法解决：(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不解，从而简化运算解题；(2)利用“点差法”，求出与中点、斜率有关的式子，进而求解．过椭圆x216＋y24＝1内一点P(2,1)作一条直线交椭圆于A、B两点，使线段AB被P点平分，求此直线的方程．例3【思路点拨】由于弦所在直线过定点P(2,1)，所以可设出弦所在直线的方程为y－1＝k(x－2)，与椭圆方程联立，通过中点为P，得出k的值．也可以通过设而不求的思想求直线的斜率．【解】法一：如图，设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0，(*)又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1、x2是(*)方程的两个根，∴x1＋x2＝82k2－k4k2＋1.∵P为弦AB的中点，∴2＝x1＋x22＝42k2－k4k2＋1.解得k＝－12，∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0.法二：设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵P为弦AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又∵A、B在椭圆上，∴x21＋4y21＝16，x22＋4y22＝16.两式相减，得(x21－x22)＋4(y21－y22)＝0，即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∴y1－y2x1－x2＝－x1＋x24y1＋y2＝－12，即kAB＝－12.∴所求直线方程为y－1＝－12(x－2)，即x＋2y－4＝0.【名师点评】中点弦问题求解的关键是充分利用“中点”这一条件，灵活运用中点坐标公式及根与系数的关系．本题中的法一是设出方程，根据中点坐标求出k；法二是“设而不求”，即设出交点坐标，代入方程，整体求出斜率．方法感悟1．直线与椭圆有三种位置关系(1)相交——直线与椭圆有两个不同的公共点；(2)相切——直线与椭圆有且只有一个公共点；(3)相离——直线与椭圆没有公共点．2．直线与椭圆的位置关系的判断把直线与椭圆的位置关系问题转化为直线和椭圆的公共点问题，而直线与椭圆的公共点问题，又可以转化为它们的方程所组成的方程组的解的问题，而它们的方程所组成的方程组的解的问题通常又可以转化为一元二次方程解的问题，一元二次方程解的问题可以通过判别式来判断，因此，直线和椭圆的位置关系，通常可由相应的一元二次方程的判别式来判断．