3.1.1两角和与差的余弦公式

3.1.1两角和与差的余弦公式某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示,小山高BC约为30米,在地平面上有一点A,测得A、C两点间距离约为67米,从A观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°.求这座电视发射塔的高度.ABCD306745°α课题的引入设电视发射塔高CD=x米,∠CAB=α,则sinα=30/67.ABCD306745°α在Rt△ABD中，30tan30x如果能由sinα=30/67，求得tan(450+α)的值即可求出电视发射塔的高度x.tan(450+α)=1、两点间的距离公式xy0Q1P1N1M2N2M111()Pxy，222()Pxy，11212PQMMxx21212PQNNyy221212221212PPPQPQxxyy2P重要知识点(一):两角和与差的余弦公式2、两角和的余弦公式xy01P2P3P4P11,0P2cos,sinP3cos,sinP4cos,sinP1324PPPPcos)coscossinsin(cos)coscossinsin(3、两角差的余弦公式用代Cα-βCα+β分析:cos15cos4530cos15cos6045思考：你会求的值吗?sin75例1.利用差角余弦公式求的值cos15cos()coscossinsinα-βαβ+αβcoscoscoscos45sin60sin451232222262.4解：15（60-45）=60.不查表求c练os105习：coscoscoscos45sin60sin4512322222264解：105（6045）=60例2：已知：，是第三象限角，求cos(-)的值。45sin,,cos,5213paapbbab骣÷ç÷=?-ç÷ç÷ç桫解：由，4sin,,52paap骣÷ç÷=?ç÷ç÷ç桫得2243cos1sin=-1()=-55aa=---又由是第三象限角，5cos,13bb=-得=-=-.22512sin1cos1()1313bb=----所以（）coscoscossinsinababab-=+3541233()()().51351365=--+-=-重要知识点：两角差的余弦公式的变通1：若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cosα的值？2：若已知α-β和α的三角函数值，如何求cosβ的值？coscos[()]cos()cossin(sin）()coscos[()]cos()cossin(sin）()3：若cosα＋cosβ＝a，sinα＋sinβ＝b，则cos(α－β)等于什么？222cos()2ab4：若cosα－cosβ＝a，sinα－sinβ＝b，则cos(α－β)等于什么？222cos()2ab1、已知：且，求的值。13cos()cossin()sin,,232cos()4pabbabbappa骣÷ç÷+++=?ç÷ç÷ç桫-解：由已知：得11cos()cossin()sin,cos,33abbabba+++==又由，得=-223122,2sin1cos1().233papaa骣÷ç÷?=--=-ç÷ç÷ç桫cos()coscossinsin444pppaaa\-=+1222222().323263=?-?-练习：5sincos232解：=，，337cos,sin243=-，4cos)coscossinsin57343527.12(32-43练习：233,(,),cos,(,),cos().32422、已知：sin=求coscos()0,21473、已知=，=-，,求cos1751提示：coscos().拆角思想:练习：coscos()0,2122142sin,sin().1751147解：由已知=，=-，,1751得：=cos()cossin(coscos)in(s)471142122()5117511728917.511751cos2cos().()提示角思想:：拆练习：47cos()cos(),2543(,),cos2.444、已知=，=-，且（），5求4cos()cos()573,2(,),444解：由已知=，=-，5且（），3sin()53s()5in得：=-，=.cos2cos()().cos()cos()sin()sin().41331()().555555sin,(,),cos21325、已知：=求的值。练习：222cos2cos()cossin12sin.119解：16915cos(),cos3176、已知为钝角，求2解：（，）2(,)36315cos()3178sin()317coscos[()]33cos()cossin()sin3333158334注：解题时要注意到与特殊角的关系练习：15cos(),cos3176、已知为钝角，求问：若上题条件中该为锐角，结果如何][分析(0,),2若(,)336则sin()3则应有两种情况cos因此，也应该有两种情况（练习）答案：1583cos34小结：1、两角和与差的余弦公式：cos()coscossinsincos()coscossinsin2、运用公式时注意角的范围、三角函数值正负及与特殊角的关系等