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《数学分析》上册教案第二章数列极限石家庄经济学院数理学院1§2.2收敛数列的性质教学内容:第二章数列极限——§2.2收敛数列的性质教学目标:熟悉收敛数列的性质;掌握求数列极限的常用方法.教学要求:(1)使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性;(2)掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理,并会用这些定理求某些收敛数列的极限.教学重点:迫敛性定理及四则运算法则及其应用.教学难点:数列极限的计算.教学方法:讲练结合.教学过程:引言上节引进“数列极限”的定义,并通过例题说明了验证limnnaa的方法,这是极限较基本的内容,要求掌握.为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题.还需要对数列的性质作进一步讨论.一、收敛数列的性质性质1(极限唯一性)若数列}{na收敛,则它的极限唯一.证法一假设ba与都是数列}{na的极限,则由极限定义,对0,12,NN,当1Nn时,有aan;2Nn时,有ban.取),max(21NNN,则当Nn时有2|||||)()(|||baaaaababannnn,由的任意性,上式仅当ba时才成立.证法二(反证)假设}{na极限不唯一,即至少有两个不相等的极限值,设为ba,《数学分析》上册教案第二章数列极限石家庄经济学院数理学院2aannlim,bannlim且ba故不妨设ba,取02ab,由定义,1N,当1Nn时有aan2baaan.又2N,当2Nn时有ban2baban,因此,当),max(21NNn时有nnabaa2矛盾,因此极限值必唯一.性质2(有界性)如果数列}{na收敛,则}{na必为有界数列.即0M,使对n有Man||证明设aannlim取1,0N使得当Nn时有1aan即1||||||aaaann1||||aan.令|)|,|,||,||,|1max(21NaaaaM则有对nMan||即数列}{na有界.注:①有界性只是数列收敛的必要条件,而非充分条件,如})1{(n.②在证明时必须分清何时用取定,何时用任给.上面定理3.2证明中必须用取定,不能用任给,否则N随在变,找到的M也随在变,界M的意义就不明确了.性质3(保序性)设aannlim,bannlim,(1)若ba,则存在N使得当Nn时有nnba;(2)若存在N,当Nn时有nnba,则ba(不等式性质).证明(1)取02ba,则存在1N,当1Nn时2||baaan,《数学分析》上册教案第二章数列极限石家庄经济学院数理学院3从而22babaaan.又存在2N,当2Nn时2||babbn22bababbn当),max(21NNn时nnabab2.(2)(反证)如ba,则由⑴知必N当Nn时nnba这与已知矛盾.推论(保号性)若baannlim则N,当Nn时ban.特别地,若0limaann,则N,当Nn时na与a同号.思考如把上述定理中的nnba换成nnba,能否把结论改成nnnnbalimlim?例设0na(,2,1n),若aannlim,则aannlim证明由保序性定理可得0a.若0a,则0,1N,当1Nn时有2nana即aann0lim.若0a,则0,2N,当2Nn时有aaan||aaaaaaaaannnn||||||.数列较为复杂,如何求极限?性质4(四则运算法则)若}{na、}{nb都收敛,则}{nnba、}{nnba、}{nnba也都收敛,且nnnnnnnbabalimlim)(lim,nnnnnnnbabalimlimlim.特别地,nnnnaccalimlim,c为常数如再有0limnnb则}{nnba也收敛,且nnnnnnnbabalimlimlim.《数学分析》上册教案第二章数列极限石家庄经济学院数理学院4证明由于nnnnbaba)1(,nnnnbaba1,故只须证关于和积与倒数运算的结论即可.设aannlim,bbnnlim,0,1N,当1Nn时aan;2N,当2Nn时bbn,取),max(21NNN,则当Nn时上两式同时成立.(1)|||||||||)()(|||bbabaabbabaaabbannnnnnnn,由收敛数列的有界性,0M,对n有Mbn||故当Nn时,有|)|(||aMabbann,由的任意性知abbannnlim.(2)0limbbnn.由保号性,00N及0k,对0Nn有kbn||(如可令2||bk).取),max(20NNN,则当Nn时有|||||||||||11|bkbkbbbbbbbbnnnn,由的任意性得bbnn11lim.用数学归纳法,可得有限个序列的四则运算:NkknnNkknnxx1)(1)(limlim,NkknnNkknnxx1)(1)(limlim.但将上述N换成,一般不成立.事实上1k或1k本身也是一种极限,两种极限交换次序是个非常敏感的话题,是高等分析中心课题,一般都不能交换,在一定条件下才能交换,具体什么条件,到后面我们会系统研究这个问题.性质5(两边夹定理或迫敛性)设有三个数列}{na、}{nb、}{nc,如N,当Nn时有《数学分析》上册教案第二章数列极限石家庄经济学院数理学院5nnnbca,且nlimnanlimlbn,则nlimlcn.证明nlimnanlimlbn0,21,NN,当1Nn时,laln;当2Nn时,lbln,取),,max(210NNNN,则当0Nn时以上两式与已知条件中的不等式同时成立,故有0Nn时lbcalnnn||lcn即nlimlcn.该定理不仅提供了一个判定数列收敛的方法,而且也给出了一个求极限的方法.推论若N,当Nn时有nnbca(或acbnn)且abnnlim,则acnnlim.例求证nlim0!nan(0a).证明k使得ak,从而当kn时有0!nannakanakakaaak!121,由于nlimnakak!!kaknlimna0由推论即可得结论.例设1a,2a,…,ma是m个正数,证明nlim),,,max(2121mnnmnnaaaaaa.证明设),,max(21maaaA,则Annmnnaaa21Amn1mnlimnm1,由迫敛性得结论.例1)1(1limaann.在证明中,令01nnah,nnha)1(,得nahn0,由此推出0nh.由此例也看出由nnnyzx和nnnnyaxlimlim,也推出aznnlim.例2证明1limnnn.证明令nnhn1,《数学分析》上册教案第二章数列极限石家庄经济学院数理学院6)3(2)1(2)1(1)1(22nhnnhhnnnhhnnnnnnnn,120nhn两边夹推出0nh,即1nn.在求数列的极限时,常需要使用极限的四则运算法则.下举几例:例3求极限93164lim22nnnnn.解3434lim93164lim22911622nnnnnnnnnn.例4求极限)10()1(limaaann.解aaaaannnn1111lim)1(lim.例5)11(lim)13(lim1lim13lim)113(limnnnnnnnnnnnnnnn313)1lim1lim)(1lim3lim(nnnnnn.例6求01110111limbnbnbnbanananakkkkmmmmn,km,0ma,0kb.解原式kkkkkkkmmkmmnnbnbnbbnananana0111101111limkmkmbamm,0,,即有理式的极限0高次,则为分子最高次低于分母最,为最高次系数之比分子分母最高次数相同.如327103542lim323nnnnn.例7)1(limnnnn1111limlim112111nnnnnn.《数学分析》上册教案第二章数列极限石家庄经济学院数理学院7例8设0,ba,证明),max(limbabannnn.证明),max(),max(2),max(),max(bababababannnnnnn.二、数列的子列(一)引言极限是个有效的分析工具.但当数列na的极限不存在时,这个工具随之失效.这能说明什么呢?难道na没有一点规律吗?当然不是!出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究.那么,如果“整体无序”,“部分”是否也无序呢?如果“部分”有序,可否从“部分”来推断整体的性质呢?简而言之,能否从“部分”来把握“整体”呢?这个“部分数列”就是要讲的“子列”.(二)子列的定义定义1设na为数列,kn为正整数集N的无限子集,且123knnnn,则数列12,,,,knnnaaa称为数列na的一个子列,简记为kna.注1由定义可见,na的子列kna的各项都来自na且保持这些项在na中的的先后次序.简单地讲,从na中取出无限多项,按照其在na中的顺序排成一个数列,就是na的一个子列(或子列就是从na中顺次取出无穷多项组成的数列).注2子列kna中的kn表示kna是na中的第kn项,k表示kna是kna中的第k项,即kna中的第k项就是na中的第kn项,故总有knk.特别地,若knk,则knnaa,即knnaa.注3数列na本身以及na去掉有限项以后得到的子列,称为na的平凡子列;不是平凡子列的子列,称为na的非平凡子列.如221,kkaa都是na的非平凡子列.由上节例知:数列na与它的任一平凡子列同为收敛或发散,且在收敛时有相同的极限.那么数列na的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢?此即下面的结果:《数学分析》上册教案第二章数列极限石家庄经济学院数理学院8定理2.8数列}{na收敛的充要条件是:}{na的任何非平凡子列都收敛.证明必要性:设}{,limknnnaaa是}{na的任一子列.任给0,存在正数N,使得当Nk时有.aak由于,knk故当Nk时有Nnk,从而也有aakn,这就证明了}{kna收敛(且与}{na有相同的极限).充分性:考虑}{na的非平凡子列}{2ka,}{12ka与}{3ka.按假设,它们都收敛.由于}{6ka既是}{2ka,又是}{3ka的子列,故由刚才证明的必要性,.limlimlim362kkkkkkaaa(9)又}{36ka既是}{12ka又是}{3ka的子列,同样可得.limlim312kkkkaa(10)(9)式与(10)式给出122limlimkkkkaa.所以由课本例7可知}{na收敛.由定
本文标题:收敛数列的性质
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