2015年浙江省杭州市中考数学试卷含答案

2015年浙江省杭州市中考数学试卷一、仔细选一选（每小题3分，共30分）1．统计显示，2013年底杭州市各类高中在校学生人数大约是11.4万人，将11.4万用科学记数法表示应为（）A．11.4×102B．1.14×103C．1.14×104D．1.14×1052．下列计算正确的是（）A．23+26=29B．23﹣24=2﹣1C．23×23=29D．24÷22=223．下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．下列各式的变形，正确的是（）A．（﹣x﹣y）（﹣x+y）=x2﹣y2B．﹣x=C．x2﹣4x+3=（x﹣2）2+1D．x÷（x2+x）=+15．圆内接四边形ABCD中，已知∠A=70°，则∠C=（）A．20°B．30°C．70°D．110°6．若k＜＜k+1（k是整数），则k=（）A．6B．7C．8D．97．某村原有林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地面积占林地面积的20%．设把x公顷旱地改为林地，则可列方程（）A．54﹣x=20%×108B．54﹣x=20%（108+x）C．54+x=20%×162D．108﹣x=20%（54+x）8．如图是某地2月18日到23日PM2.5浓度和空气质量指数AQI的统计图（当AQI不大于100时称空气质量为“优良”）．由图可得下列说法：①18日的PM2.5浓度最低；②这六天中PM2.5浓度的中位数是112μg/m3；③这六天中有4天空气质量为“优良”；④空气质量指数AQI与PM2.5浓度有关．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④9．如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为（）A．B．C．D．10．设二次函数y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的图像与一次函数y2=dx+e（d≠0）的图像交于点（x1，0），若函数y=y1+y2的图像与x轴仅有一个交点，则（）A．a（x1﹣x2）=dB．a（x2﹣x1）=dC．a（x1﹣x2）2=dD．a（x1+x2）2=d二、认真填一填（每小题4分，共24分）11．数据1，2，3，5，5的众数是，平均数是．12．分解因式：m3n﹣4mn=．13．函数y=x2+2x+1，当y=0时，x=；当1＜x＜2时，y随x的增大而（填写“增大”或“减小”）．14．如图，点A，C，F，B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD．若∠ECA为α度，则∠GFB为度（用关于α的代数式表示）．15．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P（1，t）在反比例函数y=的图像上，过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OP．若反比例函数y=的图像经过点Q，则k=．16．如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°．将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD=．三、全面答一答（共66分）17．（6分）杭州市推行垃圾分类已经多年，但在剩余垃圾中除了厨余类垃圾还混杂着非厨余类垃圾．如图是杭州某一天收到的厨余垃圾的统计图．（1）试求出m的值；（2）杭州市某天收到厨余垃圾约200吨，请计算其中混杂着的玻璃类垃圾的吨数．18．（8分）如图，在△ABC中，已知AB=AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM=2MB，AN=2NC．求证：DM=DN．19．（8分）如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．20．（10分）设函数y=（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣3）]（k是常数）．（1）当k取1和2时的函数y1和y2的图像如图，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时的函数的图像；（2）根据图像，写出你发现的一条结论；（3）将函数y2的图像向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到的函数y3的图像，求函数y3的最小值．21．（10分）“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度．（1）用记号（a，b，c）（a≤b≤c）表示一个满足条件的三角形，如（2，3，3）表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形．请列举出所有满足条件的三角形．（2）用直尺和圆规作出三边满足a＜b＜c的三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）．22．（12分）如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．（1）若=，AE=2，求EC的长.（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．23．（12分）方成同学看到一则材料：甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地．设乙行驶的时间为t（h），甲、乙两人之间的距离为y（km），y与t的函数关系如图1．方成思考后发现了如图1的部分正确信息：乙先出发1h；甲出发0.5小时与乙相遇．请你帮助方成同学解决以下问题：（1）分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式.（2）当20＜y＜30时，求t的取值范围.（3）分别求出甲，乙行驶的路程S甲，S乙与时间t的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图像.（4）丙骑摩托车与乙同时出发，从N地沿同一公路匀速前往M地，若丙经过h与乙相遇，问丙出发后多长时间与甲相遇？2015年浙江省杭州市中考数学试卷参考答案与解析一、1．D解析：将11.4万用科学记数法表示为1.14×105．故选D．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．D解析：A．23与26不能合并，故此选项错误；B．23与24不能合并，故此选项错误；C．23×23=26，故此选项错误；D．24÷22=22，故此选项正确．故选D．点评：此题考查同类项、同底数幂的乘法和同底数幂的除法，关键是根据法则进行计算．3．A解析：由中心对称的定义知，绕一个点旋转180°后能与原图重合，则只有选项A是中心对称图形．故选A．点评：此题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．4．A解析：A．（﹣x﹣y）（﹣x+y）=x2﹣y2，故此选项正确；B．，故此选项错误；C．x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，故此选项错误；D．x÷（x2+x）=，故此选项错误．故选A．点评：此题考查平方差公式和分式的加减以及整式的除法，关键是根据法则计算．5．D解析：∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠A+∠C=180°，∴∠C=180°﹣70°=110°．故选D．点评：此题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．6．D解析：∵k＜＜k+1（k是整数），9＜＜10，∴k=9．故选D．点评：此题考查了估算无理数的大小，解题的关键是估算的取值范围，从而解决问题．7．B解析：设把x公顷旱地改为林地．根据题意可得方程54﹣x=20%（108+x）．故选B．点评：此题考查一元一次方程的应用，关键是设出未知数以改造后的旱地与林地的关系为等量关系列出方程．8．C解析：由图1可知，18日的PM2.5浓度为25μg/m3，浓度最低，故①正确.这六天中PM2.5浓度的中位数是=79.5（μg/m3），故②错误．∵当AQI不大于100时称空气质量为“优良”，∴18日、19日、20日、23日空气质量为优，故③正确．空气质量指数AQI与PM2.5浓度有关，故④正确．故选C．点评：此题考查了折线统计图，解决此题的关键是从折线统计图中获取相关信息，注意中位数的确定，要先把数据进行排序．9．B解析：连接AF，EF，AE，过点F作FN⊥AE于点N．∵点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，∴AF=EF=1，∠AFE=120°，∴∠FAE=30°，∴AN=，∴AE=．同理可得，AC=，故从任意一点，连接两点所得的所有线段一共有15种，任取一条线段取到长度为的线段有6种情况，则在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为．故选B．点评：此题主要考查了正多边形和圆，正确利用正六边形的性质得出AE的长是解题的关键．10．B解析：∵一次函数y2=dx+e（d≠0）的图像经过点（x1，0），∴dx1+e=0，∴y2=d（x﹣x1）．∴y=y1+y2=a（x﹣x1）（x﹣x2）+d（x﹣x1）=ax2﹣axx2﹣ax1x+ax1x2+dx﹣dx1=ax2+（﹣ax2﹣ax1）x+ax1x2﹣dx1．∵当x=x1时，y1=0，y2=0，∴当x=x1时，y=y1+y2=0．∵y=ax2+（d﹣ax2﹣ax1）x+ax1x2﹣dx1与x轴仅有一个交点，∴y=y1+y2的图像与x轴的交点为（x1，0），∴=x1．化简，得a（x2﹣x1）=d．故选B．点评：此题主要考查了抛物线与x轴的交点问题以及曲线上点的坐标与方程的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：函数y=y1+y2与x轴的交点为（x1，0）．二、11．5解析：数据1，2，3，5，5的众数是5；平均数是（1+2+3+5+5）=．点评：此题考查了众数和平均数的概念，掌握各知识点的概念是解答此题的关键．12．mn（m﹣2）（m+2）解析：m3n﹣4mn=mn（m2﹣4）=mn（m﹣2）（m+2）．点评：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题的关键．13．﹣1增大解析：把y=0代入y=x2+2x+1，得x2+2x+1=0，解得x=﹣1．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；当1＜x＜2时，y随x的增大而增大．点评：此题考查了二次函数的性质，重点掌握对称轴两侧的增减性问题，解此题的关键是利用数形结合思想．14．90﹣解析：∵点A，C，F，B在同一直线上，∠ECA为α，∴∠ECB=180°﹣α．∵CD平分∠ECB，∴∠DCB=（180°﹣α）．∵FG∥CD，∴∠GFB=∠DCB=90°﹣．点评：此题考查平行线的性质，关键是根据平行线得出∠GFB=∠DCF和利用角平分线解答．15．2+2或2﹣2解析：∵点P（1，t）在反比例函数y=的图像上，∴t==2，∴P（1，2）．∴OP==．∵过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OP．∴Q（1+，2）或（1﹣，2）．∵反比例函数y=的图像经过点Q，∴2=或2=，解得k=2+2或2﹣2．点评：此题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，勾股定理的应用，求得Q点的坐标是解题的关键．16．2+或4+2解析：如图1，作AE∥BC，延长AE交CD于点N，过点B作BT⊥EC于点T．当四边形ABCE为平行四边形，∵AB=BC，∴四边形ABCE是菱形．∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，BC∥AN，∴∠ADC=30°，∠BAN=∠BCE=30°，则∠NAD=60°．∴∠AND=90°．∵四边形ABCE的面积为2，∴设BT=x，则BC=EC=2x，故2x×x=2．解得x=1（负数舍去），则AE=EC=2，EN==．故AN=2+，则AD=DC=4+2．如图2，当四边形BEDF是平行四边形，∵BE=BF，∴平行四边形BEDF是菱形．∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，∴∠ADB=∠BDC=15°．∵BE=DE，∴∠AEB=30°，∴设AB=y，则BE=2y，AE=y．∵四边形BEDF的面积为2，∴AB×DE=2y2=2，解得y=1．故AE=，DE=2，则AD=2+．综上所述，