三角函数的定义域、值域和最值

三角函数的定义域、值域和最值一知识点精讲：1三角函数的定义域（1）rysin定义域为R.（2）rxcos定义域为R.（3）xytan定义域为Zkk,2|.（4）yxcot定义域为Zkk,|.2三角函数的值域①)0(,sinabxay型当0a时，],[babay；当0a时],[babay②cxbxaysinsin2型此类型的三角函数可以转化成关于sinx的二次函数形式。通过配方，结合sinx的取值范围，得到函数的值域。xsin换为xcos也可以。③xbxaycossin型利用公式abxbaxbxatan),sin(cossin22，可以转化为一个三角函数的情形。④xxbxxaycossin)cos(sin型利用换元法，设xxtcossin,]2,2[t，则212cossintxx,转化为关于t的二次函数222122battbtbaty.⑤xxcxbxaycossincossin22型这是关于xxcos,sin的二次齐次式，通过正余弦的降幂公式以及正弦的倍角公式，22sincossin,22cos1cos,22cos1sin22xxxxxxx，可转化为pxnxmy2cos2sin的形式。⑥dxcbxaysinsin型可以分离常数，利用正弦函数的有界性。⑦bxaxycossin型可以利用反解的思想方法，把分母乘过去，整理得，abyxyxcossin，11,1)sin(22yabyyabyx,通过解此不等式可得到y的取值范围。或者转化成两点连线的斜率。以上七种类型是从表达的形式上进行分类的，如果x有具体的角度范围，则再进行限制。二典例解析：例1．求下列函数的定义域（1）xxy2cos2sin33；（2）)21(coslogsinxyx.（3）xxycoslg252；例2．求下列函数的值域(1)3sin2xy（2）4sin5cos22xxy；（3）xxxxy22cos2cossin4sin5；(4)xxxxycossincossin（5）2sin31sin3xxy；（6）2cos2sinxxy（7）xxycos)6sin(.（8）)4(tan1)4(tan122xxy（9）求函数xxxxy2sincossin12sin的值域.三课堂练习：1．若则,11seccsccos2所在的象限是（）A．第二象限B．第四象限C．第二象限或第四象限D．第一或第三象限2．不解等式：（1）21sinx（2）21cosx3．已知)(cos),23,21()(xfxf则的定义域为的定义域为____________.4．求下列函数的定义域（1）1tan1xy（2）.251sin2xxy5．求下列函数的值域（1）1cos2xy（2）.sin1cossin22xxxy（3）].,[2sin21cossin1xxxxy（4）.sincos3xxy（5）xysin21（6）1cot4tan22xy6．有一块扇形铁板，半径为R，圆心角为60°，从这个扇形中切割下一个内接矩形，即矩形的各个顶点都半径或弧在扇形的上，求这个内接矩形的最大面积．