2007年高考理科数学试题及答案-全国卷2

2007年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅱ卷)数学（理）试题第1页共12页2007年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅱ卷)数学（理）试题（必修+选修Ⅱ）第Ⅰ卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P（A+B）=P（A）+P（B）S=42R如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径，P（A·B）=P（A）·P（B）球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么V=334R，n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径Pn(k)=CknPk(1－P)n－k一、选择题1．sin210（）A．32B．32C．12D．122．函数sinyx的一个单调增区间是（）A．，B．3，C．，D．32，3．设复数z满足12iiz，则z（）A．2iB．2iC．2iD．2i4．下列四个数中最大的是（）A．2(ln2)B．ln(ln2)C．ln2D．ln25．在ABC△中，已知D是AB边上一点，若123ADDBCDCACB，，则（）A．23B．13C．13D．236．不等式2104xx的解集是（）2007年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅱ卷)数学（理）试题第2页共12页A．(21)，B．(2)，C．(21)(2)，，D．(2)(1)，，7．已知正三棱柱111ABCABC的侧棱长与底面边长相等，则1AB与侧面11ACCA所成角的正弦值等于（）A．64B．104C．22D．328．已知曲线23ln4xyx的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（）A．3B．2C．1D．129．把函数exy的图像按向量(23)，a平移，得到()yfx的图像，则()fx（）A．3e2xB．3e2xC．2e3xD．2e3x10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（）A．40种B．60种C．100种D．120种11．设12FF，分别是双曲线2222xyab的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使1290FAF且123AFAF，则双曲线的离心率为（）A．52B．102C．152D．512．设F为抛物线24yx的焦点，ABC，，为该抛物线上三点，若FAFBFC0，则FAFBFC（）A．9B．6C．4D．3第Ⅱ卷（非选择题）本卷共10题，共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．821(12)xxx的展开式中常数项为．（用数字作答）14．在某项测量中，测量结果服从正态分布2(1)(0)N，．若在(01)，内取值的概率为0.4，则在(02)，内取值的概率为．15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为cm2．2007年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅱ卷)数学（理）试题第3页共12页16．已知数列的通项52nan，其前n项和为nS，则2limnnSn→．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在ABC△中，已知内角A，边23BC．设内角Bx，周长为y．（1）求函数()yfx的解析式和定义域；（2）求y的最大值．18．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96PA．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数，求的分布列．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCDEF，，分别为ABSC，的中点．（1）证明EF∥平面SAD；（2）设2SDDC，求二面角AEFD的大小．20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线34xy相切．（1）求圆O的方程；（2）圆O与x轴相交于AB，两点，圆内的动点P使PAPOPB，，成等比数列，求PAPB的取值范围．AEBCFSD2007年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅱ卷)数学（理）试题第4页共12页21．（本小题满分12分）设数列{}na的首项113(01)2342nnaaan，，，，，，…．（1）求{}na的通项公式；（2）设32nnnbaa，证明1nnbb，其中n为正整数．22．（本小题满分12分）已知函数3()fxxx．（1）求曲线()yfx在点(())Mtft，处的切线方程；（2）设0a，如果过点()ab，可作曲线()yfx的三条切线，证明：()abfa．2007年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅱ卷)数学（理）试题第5页共12页答案解析一、选择题1.答案：D解析：sin2100=1sin302，选D。2.答案：C解析：函数f(x)=|sinx|的一个单调递增区间是(23)，选C。3.答案：C解析：设复数z=abi,(a，b∈R)满足zi21=i，∴12iaib，21ab，∴z=2i，选C。4.答案：D解析：∵0ln21，∴ln(ln2)0，(ln2)2ln2，而ln2=21ln2ln2，∴最大的数是ln2，选D。5.答案：A解析：在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若AD=2DB，CD=CBCA31，则22()33CDCAADCAABCACBCA1233CACB=32，选A。6.答案：C解析：不等式:412xx0，∴10(2)(2)xxx，原不等式的解集为(-2,1)∪(2,+∞)，选C。7.答案：A解析：已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，取A1C1的中点D1，连接BD1，AD1，∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，11362sin42BAD，选A。8.答案：A解析：已知曲线23ln4xyx的一条切线的斜率为12，13'2yxx=21，解得x=3或x=－2，由选择项知，只能选A。9.答案：C解析：把函数y=ex的图象按向量a=(2,3)平移，即向右平移2个单位，向上平移3个单位，平移后得到y=f(x)的图象，f(x)=23xe，选C。10.答案：B解析：从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有225360CA种，选B。2007年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅱ卷)数学（理）试题第6页共12页11.答案：B解析：设F1，F2分别是双曲线22221xyab的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中122||||2aAFAF，22122||||10cAFAF，∴离心率102e，选B。12.答案：B解析：设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FCFBFA=0，则F为△ABC的重心，∴A、B、C三点的横坐标的和为F点横坐标的3倍，即等于3，∴|FA|+|FB|+|FC|=(1)(1)(1)6ABCxxx，选B二、填空题13.42解析：(1+2x2)(x－1x)8的展开式中常数项为4338812(1)CC=－42。14.0.8解析：在某项测量中，测量结果服从正态分布N（1，2）（0），正态分布图象的对称轴为x=1，在（0，1）内取值的概率为0.4，可知，随机变量ξ在(1，2)内取值的概率于在(0，1)内取值的概率相同，也为0.4，这样随机变量ξ在(0，2)内取值的概率为0.8。15.242解析：一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。正四棱柱的对角线的长为球的直径，现正四棱柱底面边长为1cm，设正四棱柱的高为h，∴2R=2=22211h，解得h=2，那么该棱柱的表面积为2+42cm2.16.52解析：已知数列的通项an=－5n+2，其前n项和为Sn(51)2nn，则2limnnSn=－25。三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.解：（1）ABC△的内角和ABC，由00ABC，，得20B.应用正弦定理，知23sinsin4sinsinsinBCACBxxA，2sin4sinsinBCABCxA.因为yABBCAC，2007年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅱ卷)数学（理）试题第7页共12页所以224sin4sin2303yxxx，（2）因为14sincossin232yxxx543sin23xx，所以，当x，即x时，y取得最大值63.18.解：（1）记0A表示事件“取出的2件产品中无二等品”，1A表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”.则01AA，互斥，且01AAA，故01()()PAPAA012122()()(1)C(1)1PAPApppp于是20.961p.解得120.20.2pp，（舍去）.（2）的可能取值为012，，.若该批产品共100件，由（1）知其二等品有1000.220件，故2802100C316(0)C495P.1180202100CC160(1)C495P.2202100C19(2)C495P.所以的分布列为012P3164951604951949519.解法一：2007年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅱ卷)数学（理）试题第8页共12页（1）作FGDC∥交SD于点G，则G为SD的中点.连结12AGFGCD∥，，又CDAB∥，故FGAEAEFG∥，为平行四边形.EFAG∥，又AG平面SADEF，平面SAD.所以EF∥平面SAD.（2）不妨设2DC，则42SDDGADG，，△为等腰直角三角形.取AG中点H，连结DH，则DHAG⊥.又AB⊥平面SAD，所以ABDH⊥，而ABAGA，所以DH⊥面AEF.取EF中点M，连结MH，则HMEF⊥.连结DM，则DMEF⊥.故DMH为二面角AEFD的平面角2tan21DHDMHHM.所以二面角AEFD的大小为arctan2.解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系Dxyz.2007年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅱ卷)数学（理）试题第9页共12页设(00)(00)AaSb，，，，，，则(0)(00)BaaCa，，，，，，00222aabEaF，，，，，，02bEFa，，.取SD的中点002bG，，，则02bAGa，，.EFAGEFAGAG，∥，平面SADEF，平面SAD，所以EF∥平面SAD.（2）不妨设(100)A，，，则11(110)(010)[phone]BCSEF，，，，，，，，，，，，，，.EF中点EFMDEFMDEFMDM0,(-1,0,1),),21,-21,21(-),21,21,21(又1002EA，，，EFEAEFEA0,，所以向量MD和EA的夹角等于二面角AEFD的平面角..所以二面角AEFD的大小为3arc