2008年高考理科数学(全国二卷)真题

第1页共17页2008年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．不能答在试题卷上．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件AB，互斥，那么球的表面积公式()()()PABPAPB24πSR如果事件AB，相互独立，那么其中R表示球的半径()()()PABPAPB球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么34π3VRn次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径()(1)(012)kknkknPkCppkn，，，，一、选择题1．设集合{|32}MmmZ，{|13}NnnMNZ则，≤≤（）A．01，B．101，，C．012，，D．1012，，，2．设abR，且0b，若复数3()abi是实数，则（）A．223baB．223abC．229baD．229ab3．函数1()fxxx的图像关于（）A．y轴对称B．直线xy对称C．坐标原点对称D．直线xy对称第2页共17页4．若13(1)ln2lnlnxeaxbxcx，，，，，则（）A．abcB．cabC．bacD．bca5．设变量xy，满足约束条件：222yxxyx，，．≥≤≥，则yxz3的最小值（）A．2B．4C．6D．86．从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（）A．929B．1029C．1929D．20297．64(1)(1)xx的展开式中x的系数是（）A．4B．3C．3D．48．若动直线xa与函数()sinfxx和()cosgxx的图像分别交于MN，两点，则MN的最大值为（）A．1B．2C．3D．29．设1a，则双曲线22221(1)xyaa的离心率e的取值范围是（）A．(22)，B．(25)，C．(25)，D．(25)，10．已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AESD，所成的角的余弦值为（）A．13B．23C．33D．2311．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20xy与740xy，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（）A．3B．2C．13D．1212．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A．1B．2C．3D．2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．设向量(12)(23)，，，ab，若向量ab与向量(47)，c共线，则．14．设曲线axye在点(01)，处的切线与直线210xy垂直，则a．第3页共17页15．已知F是抛物线24Cyx：的焦点，过F且斜率为1的直线交C于AB，两点．设FAFB，则FA与FB的比值等于．16．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件①；充要条件②．（写出你认为正确的两个充要条件）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在ABC△中，5cos13B，4cos5C．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）设ABC△的面积332ABCS△，求BC的长．第4页共17页18．（本小题满分12分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金．假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为41010.999．（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p；（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．第5页共17页19．（本小题满分12分）如图，正四棱柱1111ABCDABCD中，124AAAB，点E在1CC上且ECEC31．（Ⅰ）证明：1AC平面BED；（Ⅱ）求二面角1ADEB的大小．ABCDEA1B1C1D1第6页共17页20．（本小题满分12分）设数列na的前n项和为nS．已知1aa，，．（Ⅰ）设，求数列nb的通项公式；（Ⅱ）若1nnaa≥，*nN，求a的取值范围．第7页共17页21．（本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)AB，，，是它的两个顶点，直线)0(kkxy与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．（Ⅰ）若6EDDF，求k的值；（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．第8页共17页22．（本小题满分12分）设函数sin()2cosxfxx．（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x≥，都有()fxax≤，求a的取值范围．第9页共17页2008年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）理科数学答案和评分参考一、选择题1．B2．A3．C4．C5．D6．D7．B8．B9．B10．C11．A12．C二、填空题13．214．25．32216．两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．1．【答案】B【解析】1,0,1,2M，3,2,1,0,1N，∴1,0,1NM2．【答案】A【解析】ibbaabaibabbiaabia)3()3(33)(322332233，因是实数且0b，所以2232303abbba3．【答案】C【解析】1()fxxx是奇函数，所以图象关于原点对称4．【答案】C【解析】由0ln111xxe，令xtln且取21t知bac5．【答案】D【解析】如图作出可行域，知可行域的顶点是A（－2，2）、B(32,32)及C(－2，－2)于是8)(minAz6．【答案】D【解析】2920330110220210120CCCCCP7．【答案】B【解析】324156141604262406CCCCCC8．【答案】B【解析】在同一坐标系中作出xxfsin)(1及xxgcos)(1在]2,0[的图象，由图象知，第10页共17页当43x，即43a时，得221y，222y，∴221yyMN9．【答案】B【解析】222222)11(1)1()(aaaaace，因为a1是减函数，所以当1a时110a，所以522e，即52e10．【答案】C【解析】连接AC、BD交于O，连接OE，因OE∥SD.所以∠AEO为所求。设侧棱长与底面边长都等于2，则在⊿AEO中，OE＝1,AO＝2，AE=3122，于是3331132)2(1)3(cos222AEO11．【答案】A【解析】1,02:11kyxl，71,047:22kyxl，设底边为kxyl:3由题意，3l到1l所成的角等于2l到3l所成的角于是有371711112211kkkkkkkkkkk再将A、B、C、D代入验证得正确答案是A12．【答案】C【解析】设两圆的圆心分别为1O、2O，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则21EOOO为矩形，于是对角线OEOO21,而3122222AEOAOE，∴321OO13．【答案】2【解析】＝)32,2(则向量ab与向量(47)，c共线27432214．【答案】2【解析】axaey'，∴切线的斜率aykx0'，所以由1)21(a得2a15．【答案】322【解析】设A（1x，1y）B（2x，2y）由0164122xxxyxy2231x，2232x，（21xx）；∴由抛物线的定义知22322222242241121xxFBFA【高考考点】直线与抛物线的位置关系，抛物线定义的应用16．充要条件①；第11页共17页充要条件②．（写出你认为正确的两个充要条件）【答案】两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．三、解答题17．解：（Ⅰ）由5cos13B，得12sin13B，由4cos5C，得3sin5C．所以33sinsin()sincoscossin65ABCBCBC．······························5分（Ⅱ）由332ABCS△得133sin22ABACA，由（Ⅰ）知33sin65A，故65ABAC，············································································8分又sin20sin13ABBACABC，故2206513AB，132AB．所以sin11sin2ABABCC．·······························································10分18．解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，记投保的10000人中出险的人数为，则4~(10)Bp，．（Ⅰ）记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金，则A发生当且仅当0，··························································································2分()1()PAPA1(0)P4101(1)p，又410()10.999PA，故0.001p．·················································································5分第12页共17页（Ⅱ）该险种总收入为10000a元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出1000050000，盈利10000(1000050000)a，盈利的期望为100001000050000EaE，·································9分由43~(1010)B，知，31000010E，4441010510EaE4443410101010510a．0E≥4441010105100a≥1050a≥15a≥（元）．故每位投保人应交纳的最低保费为15元．···········································12分19．解法一：依题设知2AB，1CE．（Ⅰ）连结AC交BD于点F，则BDAC．由三垂线定理知，1BDAC．···························································3分在平面1ACA内，连结EF交1AC于点G，由于122AAACFCCE，故1RtRtAACFCE△∽△，1AACCFE，CFE与1FCA互余．于是1ACEF．1AC与平面BED内两条相交直线BDEF，