导数题型分析及经典例题

导数题型分析即经典例题1.导数（导函数的简称）的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=.注：①是增量，我们也称为“改变量”，因为可正，可负，但不为零.②以知函数定义域为，的定义域为，则与关系为.例1、已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限：（1）hhafhafh2)()3(lim0；（2）hafhafh)()(lim202.函数在点处连续与点处可导的关系：⑴函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件.可以证明，如果在点处可导，那么点处连续.事实上，令，则相当于.于是⑵如果点处连续，那么在点处可导，是不成立的.例：在点处连续，但在点处不可导，因为，当＞0时，；当＜0时，，故不存在.注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.例2、11)(2xbaxxxxfy在1x处可导，则ab3.导数的几何意义：函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为例3、已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()0x)(xfyx0xxy)()(00xfxxfyxxfxxfxy)()(00)(xfy0xxx0xxfxxfxyxx)()(limlim0000)(xfy0x)(xfy0x)(0'xf0|'xxy)(0'xfxxfxxfxyxx)()(limlim0000xx)(xfyA)('xfyBABBA)(xfy0x0x)(xfy0x)(xfy0x)(xfy0x)(xfy0xxxx00xx0x)]()()([lim)(lim)(lim0000000xfxfxxfxxfxfxxxx).()(0)()(limlim)()(lim)]()()([lim000'0000000000xfxfxfxfxxfxxfxfxxxfxxfxxxx)(xfy0x)(xfy0x||)(xxf00x00xxxxy||x1xyx1xyxyx0lim)(xfy0x)(xfy))(,(0xfx)(xfy))(,(0xfx)(0'xf).)((0'0xxxfyy4.求导数的四则运算法则：（为常数）5.复合函数的求导法则：或6.函数单调性：（1）函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果＞0，则为增函数；如果＜0，则为减函数.（2）凹凸函数判定：的二阶导数大于0为凹函数，二阶导数小于0为凸函数。利用导数确定函数的单调性的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求出函数的导数；(3)解不等式f(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f(x)＜0，得函数的单调递减区间．7.极值的判别方法：（极值是在附近所有的点，都有＜，则是函数的极大值，极小值同理）当函数在点处连续时，①如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；''')(vuvu)(...)()()(...)()(''2'1'21xfxfxfyxfxfxfynn''''''')()(cvcvvccvuvvuuvc)0(2'''vvuvvuvu)()())(('''xufxfxxuxuyy''')(xfy)('xf)(xfy)('xf)(xfy)(xfy0x)(xf)(0xf)(0xf)(xf)(xf0x0x)('xf)('xf)(0xf②如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值.8.极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义.例4、求函数241)1ln()(xxxf在[0，2]上的最大值和最小值.例5、设函数()(1)(),(1)fxxxxaa（1）求导数/()fx;并证明()fx有两个不同的极值点12,xx;（2）若不等式12()()0fxfx成立，求a的取值范围．例6、求证：31yx在(,0)上是增函数。例7、确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.9.几种常见的函数导数：I.（为常数）（）II.导数中的切线问题例题1：已知切点，求曲线的切线方程曲线3231yxx在点(11)，处的切线方程为（）例题2：已知斜率，求曲线的切线方程与直线240xy的平行的抛物线2yx的切线方程是（）例题3：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．求过曲线32yxx上的点(11)，的切线方程．例题4：已知过曲线外一点，求切线方程求过点(20)，且与曲线1yx相切的直线方程．0x)('xf)('xf)(0xf0'CCxxcos)(sin'2'11)(arcsinxx1')(nnnxxRnxxsin)(cos'2'11)(arccosxxxx1)(ln'exxaalog1)(log'11)(arctan2'xxxxee')(aaaxxln)('11)cot(2'xxarcxyo函数图象及其导函数图象注：解决此类题目主要是看导数的定义及几何意义！不要是还要考虑导数的变化情况！例1．已知函数fx()的导函数2fxaxbxc()的图象如右图，则fx()的图象可能是()例2.设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下左图所示，则导函数y=f(x)的图象可能为()导数中的含参问题例１.已知32()39fxxxx在区间(,21)aa上单调递减，求则a的取值范围小结：一个重要结论：设函数()fx在(,)ab内可导.若函数()fx在(,)ab内单调递增（减），则有''()0(()0)fxfx.方法1：运用分离参数法，如参数可分离，则分离参数→构造函数()gx（可将有意义的端点改为闭）→求()gx的最值→得参数的范围。方法2：如参数不方便分离，而'()fx是二次函数，用根的分布：①若'()0fx的两根容易求，则求根，考虑根的位置②若'()0fx不确定有根或两根不容易求，一定要考虑△和'()fa'()fb有时还要考虑对称轴例2.已知函数0()(2xxaxxf，常数)aR．若)(xf在[2)x，上为增函数，求a的取值范围．oyxxoyxoyxoyABCD例3.已知向量2(,1),(1,)axxbxt，若函数()fxab在区间1,1上是增函数，求t的取值范围.证明问题例1.求证0x时，ln1xx例2.)1(2)1ln(222xxxxxx),0(x（相减）例3.xx2sin)2,0(x（相除）例4.已知：)0(x，求证xxxx11ln11；例5.已知：2nNn且，求证：11211ln13121nnn。综合问题例1.已知函数bxaxxf2)(在1x处取得极值2.(1)求函数)(xf的表达式；(2)当m满足什么条件时,函数)(xf在区间)12,(mm上单调递增？例2.设函数有两个极值点，且（I）求的取值范围，并讨论的单调性；（II）证明：例3.已知函数，讨论的单调性.例4.设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若函数，讨论的单调性．例5.已知函数()lnfxxx.（Ⅰ）求()fx的最小值；（Ⅱ）若对所有1x都有()1fxax，求实数a的取值范围.学科网21fxxaInx12xx、12xxafx21224Infx2()(2ln),(0)fxxaxax()fx2()(0)fxaxbxkk0x()yfx(1,(1))f210xy,ab()()xegxfx()gx