§2.4.1抛物线及其标准方程练习题(教师)

§2.4.1抛物线及其标准方程练习题（教师）一．基础练习题1．已知抛物线的焦点是(0，－14)，则抛物线的标准方程是()A．x2＝－yB．x2＝yC．y2＝xD．y2＝－x答案：A2．抛物线y＝－18x2的焦点坐标是()A．(0，132)B．(132，0)C．(0，－2)D．(－2,0)答案：C3．(2009年高考四川卷)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是________．解析：抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，准线x＝－1.∴焦点到准线的距离为2.答案：24．以双曲线y29－x216＝1的焦点为焦点的抛物线的方程为________．答案：x2＝20y或x2＝－20y5．分别求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．解：(1)设抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py(p0)，则将点(－3,2)代入方程得2p＝43或2p＝92，故抛物线方程为y2＝－43x或x2＝92y.(2)①令x＝0，由方程x－2y－4＝0，得y＝－2.∴抛物线的焦点为F(0，－2)．设抛物线方程为x2＝－2py(p0)，则由p2＝2，得2p＝8.∴所求抛物线方程为x2＝－8y.②令y＝0，由方程x－2y－4＝0，得x＝4.∴抛物线的焦点为F(4,0)．设抛物线方程为y2＝2px(p0)，则由p2＝4，得2p＝16.∴所求抛物线方程为y2＝16x.综上，所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y.二．能力提升题1．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则实数a的值为()A.18B．－18C．8D．－8解析：由y＝ax2，得x2＝1ay，14a＝－2，a＝－18.选B.2．若抛物线y2＝2px上横坐标为4的点到焦点的距离为5，则焦点到准线的距离为()A.12B．1C．2D．4解析：利用抛物线的定义，由y2＝2px可知准线方程为x＝－p2，横坐标为4的点到准线的距离为4＋p2，所以4＋p2＝5，得p＝2.选C.3．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A.1716B.1516C.78D．0解析：方程可化为x2＝14y，设M(x0，y0)，则y0＋116＝1，∴y0＝1516.选B.4．当a为任何值时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过定点P，则过P点的抛物线的标准方程为()A．y2＝－92x或x2＝43yB．y2＝92x或x2＝43yC．y2＝92x或x2＝－43yD．y2＝－92x或x2＝－43y解析：由直线过定点P，所以x＋2＝0，－x－y＋1＝0，得定点P(－2,3)．因为抛物线过定点P，所以，当焦点在x轴上时，方程为y2＝－92x；当焦点在y轴上时，抛物线方程为x2＝43y.选A.5．抛物线y2＝2px(p0)过点M(2,2)，则点M到抛物线准线的距离为________．解析：y2＝2px过点M(2,2)，于是p＝1，所以点M到抛物线准线的距离为2＋p2＝52.答案：526．设抛物线的顶点坐标为(2,0)，准线方程为x＝－1，则它的焦点坐标为________．解析：准线与坐标轴的交点和焦点连线的中点即为顶点．答案：(5,0)7．若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M点的坐标．解：由抛物线的定义，设焦点F(－p2，0)．则准线为x＝p2.设M到准线的距离为|MN|，则|MN|＝|MF|＝10，即p2－(－9)＝10，∴p＝2.故抛物线方程为y2＝－4x.将M(－9，y)，代入抛物线方程得y＝±6.故M(－9,6)或M(－9，－6)．8．动圆M经过点A(3,0)且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程．解：设圆M与直线l相切于点N.∵|MA|＝|MN|，∴圆心M到定点A(3,0)和定直线x＝－3的距离相等．根据抛物线的定义，M在以A为焦点，l为准线的抛物线上．∵p2＝3，∴p＝6.∴圆心M的轨迹方程为y2＝12x.9.已知抛物线C的焦点F在x轴的正半轴上，点A(2，32)在抛物线内．若抛物线上一动点P到A、F两点距离之和的最小值为4，求抛物线C的方程．解：设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，其准线为x＝－p2，过P点作抛物线准线的垂线，垂足为H(图略)，由定义知，|PH|＝|PF|.∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PH|，故当H、P、A三点共线时，|PA|＋|PF|最小．∴|PA|＋|PF|的最小值为p2＋2＝4，p＝4，即抛物线C的方程为y2＝8x.