1.1.1正弦定理课件(PPT)

定义：把三角形的三个角A，B，C和三条边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形。ABCabc解三角形就是：由已知的边和角，求未知的边和角。请你回顾一下：同一三角形中的边角关系知识回顾：a+bc,a+cb,b+ca（1）三边：（2）三角：180CBA（3）边角：大边对大角ABCabc问题1：在中，设ABCD,,ABc,BCaACb===证明：sinsinsinabcABC==ACBcbaAsincaAacsinBsincbBbcsinCsincc1CccsinCcBbAasinsinsin中在一个直角三角形ABC1.bADcADCBsin,sin所以AD=csinB=bsinC,即,sinsinCcBb同理可得,sinsinCcAaCcBbAasinsinsin即：DAcbCB图1过点A作AD⊥BC于D,此时有2.若三角形是锐角三角形,如图1,由(1)(2)(3)知，结论成立．CCbADsinsin）（且CcBbAasinsinsin仿(2)可得D3.若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2,此时也有cADBsin交BC延长线于D,过点A作AD⊥BC，CAcbB图2（1）文字叙述正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.（2）结构特点（3）方程的观点正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个.能否运用向量的方法来证明正弦定理呢?和谐美、对称美.正弦定理:CcBbAasinsinsinAasinBbsinCcsin＝＝（2R为△ABC外接圆直径）＝2R求证:4.有没有其他的方法证明以上的等式成立？证明：OC/cbaCBARCcRcCCCCCBA2sin2sinsin,90''RCcBbAaRBbRAa2sinsinsin2sin,2sin同理作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,能否运用向量的方法来证明正弦定理呢?AcbCBDa向量法利用向量的数量积，产生边的长与内角的三角函数的关系来证明.在直角三角形中jBACabc在锐角三角形中.的夹角为与，的夹角为与，的夹角为与ABjCBjACjC90A9090由向量加法的三角形法则ABCBAC，于垂直作单位向量证明：过点ACjAABjCBjACjABjCBACjj得的数量积两边同取与,)90cos()90cos(90cosAABjCCBjACj定义）（根据向量的数量积的CcAaAcCasinsinsinsin即在锐角三角形中，可得垂直于点作过同理,sinsin,BbCcCBjCCcBbAasinsinsin也有在钝角三角形中ABCj的夹角为与的夹角为与则垂直的单位向量作与过点设CBjABjjACAA,90090AC90具体证明过程马上完成!Youtry..30,45,10.1bBCAc，ABC和边求角已知中在例Youtry解：105)(180CAB30sin105sin10　CcBbsinsin∵CBcbsinsin　192565..30,45,10.1bBCAc，ABC和边求角已知中在例正弦定理应用一：已知两角和任意一边，求其余两边和一角例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，求B和c。22变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝，A＝45°，求B和c。22变式2：在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝45°，求B和c。22334例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，求B和c。22变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝，A＝45°，求B和c。22变式2：在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝45°，求B和c。22334290122222sinsinsinsin:0　　　　cB　　　　aAbB　　BbAa　解例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，求B和c。22变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝，A＝45°，求B和c。22变式2：在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝45°，求B和c。22334232224264sinsin105)(150302142222sinsinsinsin:000ACa　　c　C　　　　B　　　　aAbB　　BbAa　舍去或解例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，求B和c。22变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝，A＝45°，求B和c。22变式2：在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝45°，求B和c。22334338822426334sinsin157512060233342222sinsinsinsin:0000ACa　c　C　　　　B　　　　aAbB　　BbAa　或或解例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，求B和c。22变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝，A＝45°，求B和c。22变式2：在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝45°，求B和c。22334正弦定理应用二：已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。（要注意可能有两解）;,120,30,12)1(.10aBAbABC求已知中在.,,30,45,10)2(ABCSbCAc求已知.,2,60,30)3(00caCBA求已知;,120,30,12)1(.10aBAbABC求已知中在.,,30,45,10)2(ABCSbCAc求已知.,2,60,30)3(00caCBA求已知点拨：已知两角和任意一边，求其余两边和一角,此时的解是唯一的.;,,,)(aBAb求已知1203012100012030121sinsinsinsin,sinsin)(BAbaBbAa解：34.,,30,45,102ABCSbCAc求）已知（,sinsinCcBb解：)(1325,105)3045(180)(180CAB)26(530sin105sin10sinsinCBcbAbcSABCsin2145sin10)26(521.,2,60,30)3(caCBA求已知,sinsinCcAa又60,30CBA:解150CB45C2230452sinsinsinsinACac;,,60,1,3)1(.2CAaBcbABC，和求已知中在。求已知ABba,45,22,32)2(0(3)20,28,120,.abA已知解这个三角形.;,,60,1,3)1(.2CAaBcbABC，和求已知中在。求已知ABba,45,22,32)2(0(3)20,28,120,.abA已知解这个三角形点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形时,通常要用到三角形内角定理和定理或大边对大角定理等三角形有关性质.;,,60,1,3)1(.2CAaBcbABC，和求已知中在9030,,60,ACCBCBcb，为锐角，,sinsinCcBb解：21360sin1sinsinbBcC222bca.,45,22,32)2(ABba求已知(3)20,28,120,.abA已知解这个三角形bBaAsinsin解：232245sin32)(,大边对大角CAba12060或AsinsinbABa解：20120sin2811037.本题无解已知两边和其中一边的对角，试讨论三角形的解的情况已知a、b、A，作三角形探索发现已知两边和其中一边对角解斜三角形CCABAbabaa1B2Ba=bsinA一解bsinAab两解CAbaabsinA无解CABbaa≥b一解作三角形归纳总结：已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解或一解或无解三种情况CCABAbabaa1B2Ba=bsinA一解bsinAab两解CAbaabsinA无解CABbaa≥b一解aｂbsinA一解一解一解两解无解作三角形（1）A为锐角AbaBCAB2baB1CabsinAabAbaBCa≥bbsinAa=(一解）(两解）(一解）案例小结！（2）A为直角或钝角ab(一解）baABCbaCBAab(一解）若A为锐角时:锐角一解一锐、一钝二解直角一解无解babaAbAbaAbasinsinsin若A为直角或钝角时:锐角一解无解baba判断满足下列的三角形的个数:(1)b=11,a=20,B=30o(2)c=54,b=39,C=120o(3)b=26,c=15,C=30o(4)a=2,b=6,A=30o判断满足下列的三角形的个数:(1)b=11,a=20,B=30o(2)c=54,b=39,C=120o(3)b=26,c=15,C=30o(4)a=2,b=6,A=30o两解一解两解无解3练习2、在ABC中，若a=2bsinA，则B＝()A、B、C、D、36653326或或练习1、在ABC中，若A：B：C=1：2：3，则a:b:c＝()A、1:2:3B、3:2:1C、1::2D、2::133自我提高！A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、不能确定)(,sinsinsin,.3222　　ABCCBAABC的形状是则若中在练习3练习2、在ABC中，若a=2bsinA，则B＝()A、B、C、D、36653326或或练习1、在ABC中，若A：B：C=1：2：3，则a:b:c＝()A、1:2:3B、3:2:1C、1::2D、2::133自我提高！A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、不能确定)(,sinsinsin,.3222　　ABCCBAABC的形状是则若中在练习CCBABC（3）在中，若，则是()A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等边三有形2cos2cos2cosCcBbAaABCABC（3）在中，若，则是()A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等边三有形2cos2cos2cosCcBbAaABCD1Aa7,b14,A30,Ba30,b25,A150,a6,b9,A45,Db9,c10,B60,C、下列判断中正确的是（）、有两解、有一解、有两解、无解四、课堂练习：1Aa7,b14,A30,Ba30,b25,A150,a6,b9,A45,Db9,c10,B60,C、下列判断中正确的是（）、有两解、有一解、有两解、无解B四、课堂练习：通过本节学习,我们一起研究了正弦定理的证明方法,同时了解了向量的工具性作用,并且明确了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题:已知两角一边;已知两边和其中一边的对角.二种——平面几何法向量法定理应用方法课时小结二个——已知两角和一边（只有一解）已知两边和其中一边的对角（有一解，两解，无解）一个——正弦定理CcBbAasinsinsinP习题1,2,4思考题:.,,,无解两解一解式有它们之间满足什么关系及角中的两边在AbaABC