第8章 多元函数微分学及其应用

42第8章多元函数微分学及其应用上册中我们所讨论的函数都只有一个自变量，这种函数称为一元函数．而在实际问题中，还会遇到多于一个自变量的函数，这就是本章将要讨论的多元函数．多元函数是一元函数的推广．它的一些基本概念及研究问题的思想方法与一元函数有许多类似之处，但是由于自变量个数的增加，它与一元函数又存在着某些区别，这些区别之处在学习中要加以注意．对于多元函数，我们将着重讨论二元函数．在掌握了二元函数的有关理论与研究方法之后，我们可以把它推广到一般的多元函数中去．§1多元函数的极限与连续一、平面点集与n维空间一元函数的定义域是实数轴上的点集，而二元函数的定义域是坐标平面上的点集．因此，在讨论二元函数之前，有必要先了解有关平面点集的一些基本概念．1．平面点集由平面解析几何知道，当在平面上确定了一个直角坐标系后，平面上的点P与二元有序实数组(,)xy之间就建立了一一对应．于是，我们常把二元有序实数组(,)xy与平面上的点P看作是等同的．这种建立了坐标系的平面称为坐标平面．二元有序实数组(,)xy的全体，即2{(,),}RxyxyR就表示坐标平面．坐标平面上满足某种条件C的点的集合，称为平面点集，记作{(,)(,)Exyxy满足条件}C．例如，平面上以原点为中心，r为半径的圆内所有点的集合是222{(,)}Exyxyr．现在，我们引入平面中邻域的概念．设000(,)Pxy是平面上一点，是一正数．与点000(,)Pxy距离小于的点(,)Pxy的全体，称为点0P的邻域，记为0(,)UP或0()UP，即220000(,){}{(,)()()}UPPPPxyxxyy．不包含点0P在内的邻域称为点0P的空心邻域，记为0(,)UP或0()UP，即43220000(,){0}{(,)0()()}UPPPPxyxxyy．在几何上，邻域0(,)UP就是平面上以点000(,)Pxy为中心，为半径的圆的内部的点(,)Pxy的全体．下面利用邻域来描述点和点集之间的关系．任意一点2PR与任意一个点集2ER之间必有以下三种关系之一：（1）内点：若存在点P的某个邻域()UP，使得()UPE，则称点P是点集E的内点（见图8-1）．（2）外点：如果存在点P的某个邻域()UP，使得()UPE，则称点P是点集E的外点（见图8-2）．（3）边界点：如果在点P的任何邻域内既含有属于E的点，又含有不属于E的点，则称点P是点集E的边界点（见图8-3）．E的边界点的全体称为E的边界,记作E．E的内点必定属于E；E的外点必定不属于E；E的边界点可能属于E，也可能不属于E．点和点集还有另外一种关系，这就是下面定义的聚点．聚点：若点P的任何空心邻域0()UP内总有E中的点，则称P为点集E的聚点．聚点本身可能属于E也可能不属于E．显然，E的内点一定是E的聚点，E的外点一定不是E的聚点．例如，点集22{(,)14}Dxyxy，满足2214xy的一切点是D的内点；满足221xy的一切点是D的边界点，它们都属于D；满足224xy的点也是D的边界点，但它们不属于D；点集D连同它的外圆边界上的点都是D的聚点．根据点集的特征，我们再来定义一些重要的平面点集．开集：如果点集E的点都是E的内点，则称E为开集．图8-1图8-2图8-3EPPEPE44闭集：如果点集E的所有聚点都属于E，则称E为闭集．例如，集合22{(,)14}xyxy是开集；集合22{(,)14}xyxy是闭集；而集合22{(,)14}xyxy既非开集，也非闭集．此外，还约定全平面2R和空集既是开集又是闭集．连通集：若点集E中任意两点都可以用完全含于E的有限条直线段所组成的折线相连接，则称E是连通集．区域（开区域）：连通的开集称为区域或开区域．闭区域：开区域连同它的边界一起组成的集合，称为闭区域．例如，22{(,)14}xyxy是区域；22{(,)14}xyxy是闭区域．有界集：对于点集E，如果能包含在以原点为中心的某个圆内，则称E是有界点集．否则称为无界点集．例如22{(,)1}xyxy是有界闭区域，而22{(,)1}xyxy是无界的开区域．2．n维空间称n元有序实数组12(,,)nxxx的全体为n维空间，记为12{(,,,),1,2,,}nniRxxxxRin．nR中的每个元素12(,,,)nxxx称为n维空间中的一个点，ix称为该点的第i个坐标．设点12(,,,)nMxxx，12(,,,)nNyyy为nR中的两点，我们规定M，N两点间的距离为2221122()()()nnMNyxyxyx．显然，当1,2,3n时，上式就是解析几何中在直线、平面、空间中两点间的距离公式．有了两点间的距离规定之后，就可以把平面点集中的邻域的概念推广到nR中去．设0nPR，是一正数，那么nR中的点集00(,){,}nUPPPPPR就称为点0P的邻域．有了邻域之后，就可以把平面点集中的内点、外点、边界点、聚点、开集、闭集、区45域等概念推广到n维空间去．二、二元函数的概念1．二元函数的概念在很多自然现象以及实际问题中，经常会遇到一个变量依赖于多个变量的关系，下面先看几个例子．例1正圆锥体的体积V和它的高h及底面半径r之间有关系213Vrh．当r和h在集合{(,)0,0}rhrh内取定一组数时，通过关系式213Vrh，V有唯一确定的值与之对应．例2一定量的理想气体的压强P、体积V和绝对温度T之间有关系RTPV，其中R为常数．当V、T在集合{(,)0,0}VTVT内取定一组数时，通过关系式RTPV，P有唯一确定的值与之对应．上面两个例子，虽然来自不同的实际问题，但都说明，在一定的条件下三个变量之间存在着一种依赖关系，这种关系给出了一个变量与另外两个变量之间的对应法则，依照这个法则，当两个变量在允许的范围内取定一组数时，另一个变量有唯一确定的值与之对应．由这些共性便可得到以下二元函数的定义．定义1设D是平面上的一个点集，如果对于D内任意一点(,)Pxy，变量z按照某一对应法则f总有唯一确定的值与之对应，则称z是变量x、y的二元函数（或称z是点P的函数），记作(,),(,)zfxyxyD或(),zfPPD．其中点集D称为函数的定义域，x，y称为自变量，z也称为因变量，数集{(,),zzfxy(,)}xyD称为该函数的值域．z是x，y的函数也可记为(,)zzxy．按照定义，在例1和例2中，V是h和r的函数，P是V和T的函数，它们的定义域由实际问题来确定．当二元函数仅用算式表示而未注明定义域时，约定其定义域为使算46式有意义的点的集合．例3求下列函数的定义域．（1）ln()zxy；（2）22arcsin()zxy．解（1）要使ln()xy有意义，必须有0xy，所以定义域为{(,)0}xyxy．（见图8-4），这是一个无界开区域．（2）要使22arcsin()xy有意义，必须有221xy，所以定义域为22{(,)1}xyxy．（见图8-5），这是一个有界闭区域．设二元函数(,)zfxy的定义域为D，对任一点(,)xyD，必有唯一的(,)zfxy与之对应．这样，以x为横坐标，y为纵坐标，(,)zfxy为竖坐标在空间就确定一个点(,,)Pxyz．当(,)xy取遍D上一切点时，相应地得到一个空间点集{(,,)(,),(,)}xyzzfxyxyD，这个点集称为二元函数(,)zfxy的图形（见图8-6）．通常(,)zfxy的图形是一张曲面，函数(,)fxy的定义域D便是该曲面在xOy面上的投影．例如，由空间解析几何知道，25zxy的图形是一张平面，而函数22zxy的47图形是旋转抛物面．2．n元函数的概念定义2设E是nR中的一个点集，如果对于E中任意一点12(,,,)nPxxx，变量u按照某一对应法则f总有唯一确定的值与之对应，则称u是定义在E上的n元函数，记作1212(,,,),(,,,)nnufxxxxxxE，或(),ufPPE．点集E称为函数的定义域，数集1212{(,,,),(,,,)}nnuufxxxxxxE称为该函数的值域．在定义2中，分别令2n和3n，便得到二元函数和三元函数的定义，二元及二元以上的函数统称为多元函数．三、二元函数的极限设二元函数(,)zfxy定义在平面点集D上，000(,)Pxy为点集D的聚点，我们来讨论当点000(,)(,)PxyPxy，即点0xx，0yy时函数(,)zfxy的极限．这里000(,)(,)PxyPxy是指点P以任意的方式趋于0P，亦即两点P与0P之间的距离趋于零，也就是22000()()0PPxxyy．与一元函数的极限概念类似，如果在000(,)(,)PxyPxy的过程中，(,)Pxy所对应的函数值(,)fxy无限接近于一个常数A，则称当000(,)(,)PxyPxy时，函数(,)zfxy以A为极限．下面用“”语言来描述这个极限的概念．定义3设二元函数(,)zfxy的定义域为D，000(,)Pxy是D的聚点，A是一个常数．如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得当0(,)(,)PxyUPD时，恒有()(,)fPAfxyA48成立，则称当000(,)(,)PxyPxy时函数(,)zfxy以A为极限，记为00(,)(,)lim(,)xyxyfxyA或00lim(,)xxyyfxyA，也记作0lim()PPfPA．二元函数的极限也称为二重极限．例4设22(,)sinfxyxy，证明(,)(0,0)lim(,)0xyfxy．证这里函数(,)fxy的定义域是2DR，点(0,0)O显然为D的聚点．由于2222(,)0sin0fxyxyxy，可见，对任意给定的0，取，则当220(0)(0)xy，即(,)(,)PxyUOD时，恒有22(,)0fxyxy，成立，根据二元函数极限的定义，证得(,)(0,0)lim(,)0xyfxy．我们必须注意，所谓二重极限存在，是指(,)Pxy以任何方式趋于000(,)Pxy时，函数(,)fxy都无限接近于同一个常数A．因此，当P以某种特殊方式趋近于0P，即使函数(,)fxy无限接近于某一常数，也不能断定二重极限存在．但当P以某种特殊方式趋近于0P时，函数(,)fxy的极限不存在，或者当P沿两个特殊方式趋近于0P时，函数(,)fxy分别无限接近于两个不同的常数，则可以断定二重极限不存在．例5讨论22(,)xyfxyxy当(,)(0,0)xy时是否存在极限．解当点(,)xy沿着直线ykx趋于(0,0)时，有492222222(,)(0,0)0limlim1xyxykxxykxkxyxkxk．其值因k而异，这与极限定义中当(,)Pxy以任何方式趋于000(,)Pxy时，函数(,)fxy都无限接近于同一个常数A的要求相违背，因此当(,)(0,0)xy时，22(,)xyfxyxy的极限不存在．以上关于二元函数极限的有关描述，可相应地推广到一般的n元函数()ufP即12(,,,)nufxxx上去．多元函数极限的性质和运算法则与一元函数相仿，这里不再重复．例6求22(,)(0,0)1lim()sinxyxyxy．解因为(,)(0,0)lim()0xyxy，而221sin1xy，利用有界函数与无穷小的乘积是无穷小，即知22(,)(0,0)1lim()sin0xyxyxy．例72222(,)(0,0)sin()limxyxyxy．解利用变量替换．令22uxy，当(,)(0,0)xy时，有0u，因此2222(,)(0,0)0sin()sinlimlim1xyuxyuxyu．例8求222(,)(0,0)limxyxyxy．解