第六讲 全等三角形

第四讲全等三角形基础知识:一：全等形1：全等形的定义：能够完全重合的图形2：全等形的特征：(1)全等形的大小，形状完全相同，与位置无关(2)全等形个数不一定局限于两个图形二：全等三角形1：全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形(不一定只局限于两个三角形，可以是多个)2:全等三角形的对应元素：两个三角形重合时：互相重合的顶点叫对应顶点互相重合的边叫对应边互相重合的角叫对应角3：全等三角形的性质：(1)全等三角形的对应边相等，对应角相等(2)全等三角形的对应线段(角的平分线，中线高)相等，周长相等，面积相等4：全等三角形的判定：(1)“SSS”------三边对应相等(2)“SAS”------两边及其夹角对应相等(3)“ASA”------两角及其夹边对应相等(4)“AAS”------两角及其其中一角的对边对应相等(5)“HL”------只对直角三角形适用5：三角形的稳定性：当一个三角形的三边长度一定时，这个三角形的形状，大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。其理论依据是：“SSS”公理6:全等三角形常见的图形变换形式：7：三角形全等的证题思路：已知两边找夹角找直角找另一边已知一边和一角边为角的对边(找边的一邻角)边为角的邻边找夹角的另一边找夹边的另一角找边的对角已知两角找夹边找任一边“SAS”“SAS”或“HL”“SSS”“AAS”“SAS”“ASA”“AAS”“ASA”“AAS”8:证三角形全等常用的辅助线：(1)在角的两边截相等的线段，构造成全等三角形(2)过角平分线上一点向角的两边作垂线(3)如有和角的平分线垂直的线段时，常把它延长与角的两边相交构成等腰三角形(4)有中线或有以线段中点为端点的线段时，常把它们加倍，构造成全等三角形辅助线的应用(1)出现角平分线时，在角的两边截相等的线段，构造成全等三角形例：如图OE平分∠AOB，在OA,OB上截取OC,OD，使OC=OD，再在OE上取一点P，连接PC,PD,则:在△POC与△POD中，因为OC=OD∠COP=∠DOPOP=OP所以△POC≌△POD(SAS)CDPABOE(2)出现线段的中点（或三角形的中线）时，可利用中点构造全等三角形例：如图在△ABC中，AD是中线，AB=5,AC=3,求AD的取值范围ABCD解析：在△ABC中，AB=5,AC=3，三条线段共点，若能将三条线段转化到同一三角形中,则可利用三角形三边关系求AD的取值范围，延长AD至E，使DE=AD，连接BE即达到目的E特别提示：中点无论出现在已知条件中，还是出现在结论中，利用中点构造全等三角形都是一种常用的解决问题的方法（3）利用加长（或截短）的方法解决线段的和，倍问题例：已知如图，在△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2，求证：AB=AC+CDABCD12解析：要证AB=AC+CD,可采取延长或截短的方法：（1）考虑∠C=2∠B，可将AC延长至点E，使CE=CD,在证AB=AE，就可证△ADE≌△ADB（2）考虑∠1=∠2，可将AB截短，在AB上截取AE=AC，可得△ADC≌△ADE，则DC=DE,再证BE=DE即可解法一:延长AC至点E，CE=CD，则∠3=∠E，而∠ACB=∠3+∠E，且∠ACB=2∠B，∴∠B=∠E在△ADB与△ADE中∠1=∠2∠B=∠EAD=AD∴△ADB≌△ADE（AAS）∴AB=AE即AB=AC+CE=AC+CD解析：要证AB=AC+CD,可采取延长的方法：（1）考虑∠C=2∠B，可将AC延长至点E，使CE=CD,在证AB=AE，就可证△ADE≌△ADBABCD12E解析：要证AB=AC+CD,可采取截短的方法：（2）考虑∠1=∠2，可将AB截短，在AB上截取AE=AC，可得△ADC≌△ADE，则DC=DE,再证BE=DE即可ABCD12E解法二：在AB上截取AE=AC连接DE,在△ADC与△ADE中AC=AE∠1=∠2AD=AD∴△ADC≌△ADE（SAS）∴CD=ED,∠4=∠C而∠4=∠B+∠3,∠C=2∠B∴∠B=∠3∴BE=DE故AB=AE+BE=AC+ED即AB=AC+CD(4).利用已知点，边等条件补全图形，构造全等三角形例：已知如图：在Rt△ABC中AB=AC,∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于点E，试说明BD=2CE12ABCDE解析：利用∠1=∠2，延长CE交BA的延长线于点F，∵∠1=∠2，BE⊥CE，则△FBC等腰，既有三线合一，即CF=2CE,从而只需说明BD=CF即可，即说明△ABD≌△ACFF12ABCDEF解：延长CE交BA的延长线于点F，△BEC和△BEF中，∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEC=∠BEF=90°∴△BEC≌△BEF（ASA）∴CE=EF=∵∠1+∠ADB=∠3+∠EDC，而∠ADB=∠EDC∴∠1=∠3在△ABD和△ACF中，∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°∴△ABD≌△ACF（ASA)∴BD=CF故BD=2CECF213学以致用应用1：如图在△ABC中，∠B=60°，角平分线AE,CF分别交BC,AB于点E,F，AE,CF相交于点O求证：AC=AF+CEABCEFO解析：此题宜用截短法。可在AC上截取AD=AF,从而只需证CD=CE即可此时可考虑证明△COE≌△CODDBACEFOD解：在AC上截取AD=AF,连接OD在△AOD与△AOF中AD=AF∠OAD=∠OAFOA=OA∴△AOD≌△AOF（SAS）∴∠AOD=∠AOF又∵∠B=60°∴∠BAC+∠BCA=120°而AE,CF是角平分线∴∠OAC+∠OCA=(∠BAC+∠BCA)=60°又∵∠AOF=∠OAC+∠OCA∴∠AOF=∠AOD=60°故∠COD=∠COE=60°在△COD与△COE中∠OCD=∠OCEOC=OC∠OCD=∠OCE∴△COD≌△COE故CD=CE即AF+CE=AD+CD即AC=AF+CE21B应用2：已知如图：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，试说明AB=BC+CDACD证明：在BA上截取BE=BC,连接DE，E∵BD平分∠ABC∴∠CBD=∠EBD在△BCD与△BED中BC=BE∠CBD=∠EBDBD=BD∴△BCD与△BED∴∠DEB=∠DCB=90°CD=DE又∵∠DEB+∠DEA=90°∴∠DEA=90°在△ABC中∠ACB=90°AC=BC∴∠A=45°∴∠EDA=∠A=45°∴DE=EA∴CD=EA∴AB=BE+EA=BC+CD即AB=BC+CD例题解析例1：如图，∠BAC=∠ABD，请你添加一个条件：，使OC=ODABCDO解析：使OC=OD，只要△ABC≌△BAD即可，题中已知了一组对应角相等，读图可知有一组公共边相等，可以根据任意三角形全等的判定方法来确定添加一组角或是一组边相等，故有：∠C=∠D或∠ABC=∠BAD或AC=BD或∠OAD=∠OBC即可